19. Առաջին և երկրորդ աստիճանի հավասարումների համակարգեր

Վարժ․ 284

ա) { x+y=3; xy= -40=> { x=3-y; (3-y)*y= -40=> { x=3-y; 3y-y2= -40=> { x=3-y; -y2+3y+40=0 (1)

-y2+3y+40=0

D=9-(-160)=169

[ y= -3-13/(-2); y= -3+13/(-2)=> [ y= -16/(-2); y=10/(-2)=> [ y=8; y= -5

(1)=> { x=3-y; [ y=8; y= -5=> [{ x=3-y; y=8; { x=3-y; y= -5=> [{ x= -5; y=8; { x=8; y= -5

Պատ՝․ (-5; 8) & (8; -5)

բ) { x+y=7; xy=12=> { x=7-y; (7-y)*y=12=> { x=7-y; 7y-y2=12=> { x=7-y; -y2+7y-12=0 (1)

-y2+7y-12=0

D=49-48=1

[ y= -7-1/(-2); y= -7+1/(-2)=> { y= -8/(-2); y= -6/(-2)=> { y=4; y=3

(1)=> { x=7-y; [ y=4; y=3=> [{ x=7-y; y=4; { x=7-y; y=3=> [{ x=3; y=4; { x=4; y=3

Պատ՝․ (3; 4) & (4; 3)

Շարունակել կարդալ

Խնդիրներ կրկնության համար

Վարժ․ 493

ա) 672:42+21*39=835

1) 672:42=16

2) 21*39=819

3) 16+819=835

բ) 989:43-912:48=4

1) 989:43=23

2) 912:48=19

3) 23-19=4

գ) (720-695)*(975:25)=975

1) 720-695=25

2) 975:25=39

3) 25*39=975

դ) (109+839):(312-233)=12

1) 109+839=948

2) 312-233=79

3) 948:79=12

ե) 65254:79-75563:97=47

1) 65254:79=826

2) 75563:97=779

3) 826-779=47

զ) 37115:65+72675:85=1426

1) 37115:65=571

2) 72675:85=855

3) 571+855=1426

Շարունակել կարդալ

16. Բեզուի թեորեմ

Վարժ․ 264

ա) 2x3+x2+3

2x3+x2+3/x-1=2x2+3x+3 (6)

2x3+x2+3=(x-1)(2x2+3x+3)+6

բ) x4-2x3+3x2+4x-1

x4-2x3+3x2+4x-1/x-1=x3-x2+4x+8 (7)

x4-2x3+3x2+4x-1=(x-1)(x3-x2+4x+8)+7

գ) 4x3+5x2-3x+2

4x3+5x2-3x+2/x-1=4x2+9x+6 (8)

4x3+5x2-3x+2=(x-1)(4x2+9x+6)+8

դ) x5-3x2+3x-10

x5-3x2+3x-10/x-1=x4+x3-2x2-2x+1 (-9)

x5-3x2+3x-10=(x-1)(x4+x3-2x2-2x+1)-9

Շարունակել կարդալ

15. Գործողություններ մեկ փոփոխականով բազմանդամների հետ

Վարժ․ 261

ա1) x3+4x2+x+6/x+1

x3+4x2+x+6/x+1=x2+3x-2 (8)

x3+4x2+x+6=(x+1)(x2+3x-2)+8

ա2) x3+4x2+x+6/x-2

x3+4x2+x+6/x-2=x2+6x+13 (32)

x3+4x2+x+6=(x-2)(x2+6x+13)+32

ա3) x3+4x2+x+6/x-3

x3+4x2+x+6/x-3=x2+7x+2 (72)

x3+4x2+x+6=(x-3)(x2+7x+22)+72

բ1) x4+2x3+x2+6/x2+x+1

x4+2x3+x2+6/x2+x+1=x2+x+6 (7)

x4+2x3+x2+6=(x2+x+1)(x2+x+6)+7

բ2) x4+2x3+x2+6/x+2

x4+2x3+x2+6/x+2=x3+x-2 (10)

x4+2x3+x2+6=(x+2)(x3+x-2)+10

գ1) x5-1/x4+1

x5-1/x4+1=x (x-1)

x5-1=(x4+1)x+x-1

գ2) x5-1/x3-1

x5-1/x3-1=x2 (x^2-1)

x5-1=(x3-1)*(x2)+x2-1

գ3) x5-1/x4+x3+x2+x+1

x5-1/x4+x3+x2+x+1=x-1

x5-1=(x4+x3+x2+x+1)(x-1)

Շարունակել կարդալ

14. Տեքստային խնդիրների լուծում

Խնդիր 245

ա) Կոտորակը նշանակենք x=>

2(2+x)/x+3=5/3

12+6x-5x-15/3(x+3)=0

Թ․Ա․Բ․ x+3≠0; x≠ -3

x-3/3(x+3)=0

x-3=0=> x=3

Պատ՝․ 3

բ) Հայտարարը նշանակենք x+2; համարիչը՝ x

x+15/x+2+3=1.5/6=> x+15/x+5=11/6

x+15/x+5 — 11/6=0

6x+90-11x-55/6(x+5)=0

Թ․Ա․Բ․ x+5≠0; x≠ -5

-5x+35/6(x+5)=0

-5x+35=0=> -5x= -35=> x=7

Ստուգում՝

7+15/7+2+3=22/12=11/6=1.5/6

Պատ՝․ 7

Շարունակել կարդալ

13. Ռացիոնալ հավասարումների լուծումը

Վարժ․ 237

ա) 1/x=3 & 1/x-3=0 (համարժեք են)

բ) 2x-4/x-5=0 & x-2/x-5=0 (համարժեք են)

գ) x/x-1+3=0 & 4x-3/x-1=0 (համարժեք են)

դ) 2x/x-1=x & 2/x-1=1 (համարժեք չեն)

Վարժ․ 238

ա) x-1/x+2=0

x-1+2x/x=0

3x-1/x=0

Թ․Ա․Բ․ x≠0

3x-1=0=> x=1/3

Պատ՝․ 1/3

բ) 1-2x/x-1=0

x-1+2x/x-1=0

-x+1/x-1=0

Թ․Ա․Բ․ x-1≠0=> x≠1

-x+1=0=> x=1 (չի բավ․)

Պատ՝․ Ø

գ) k+3/k=4

k+3/k-4=0

k+3-4k/k=0

-3k+3/k=0

Թ․Ա․Բ․ k≠0

-3k+3=0=> k=1

Պատ՝․ 1

Շարունակել կարդալ

12. Հավասարում, որի մի կողմը հանրահաշվական կոտորակ է, իսկ մյուսը՝ 0

Վարժ․ 228

3x+8/4x-7=0

Թ․Ա․Բ․ 4x-7≠0

3x+8=0

3x= -8

x= -8/3

4*(-8/3)-7≠0

Պատ՝․ -8/3

Վարժ․ 229

ա) a/b=0=> a=0; b≠0.

բ) a/c=0=> a=0, ճիշտ է.

գ) Այո, ճիշտ է, քանի որ համարիչը պետք է պարտադիր լինի 0.

դ) x-1/x=0 & x-1=0; այո համարժեք են, քանի որ երկու արտահայտության պատասխանները լինելու է 1․

ե) Ոչ, քանի որ հայտարարում չպետք է ստացվի 0.

Շարունակել կարդալ

11. Վերածվող հավասարումներ

Վարժ․ 222

ա) x3+5x2+6х=0

Սա պետք է լուծենք հետևյալ կերպ։ Առաջին հերթին պետք է դարձնենք, այսինքն վերածենք քառակուսի հավասարման։ Պետք է x-ը ընդհանուր հանենք, որպեսզի ստանանք քառակուսի հավասարումը։ Հետո պարզապես դիսկրիմինանտով պետք է հաշվենք ստացված արդյունքը։

x*(x2+5x-6)=0=> [ x=0; x2+5x-6=0 (1)

x2+5x-6=0

D=25-(-24)=49

[ x= -5-7/2=> -12/2= -6; x= -5+7/2=2/2= 1

(1)=> [ x= -6; x=1; x=0

Պատ՝․ -6; 0; 1

բ) Նշանակում է, որ մեր հավասարումը վերածվեց երկու արտահայտության, այսինքն մենք սկզբից ունեինք հաստատուն արտահայտություն, բայց քանի որ x-ը կարողացանք ընդհանուր հանել, այդ իսկ պատճառով այն վերածվեց երկու արտահայտության՝ արտադրյալով։

Վարժ․ 223

ա) ab=0 այն դեպքում, եթե արժեքներից գոնե մեկը հավասար լինի 0-ի, կամ էլ երկու արժեքներն էլ համապատասխան լինեն 0:

բ) Ճիշտ չէ, քանի որ ոչ միայն а արժեքը կարող է ունենալ 0 արժեք։ Նույն կերպ b արժեքն էլ կարող է ունենալ զրոյական արժեք։

գ) Ոչ, քանի որ երկուսի պատասխանները իրար չեն համապատասխանում։

դ) Այո, հավասարման արմատ է, քանի որ վերջում պատասխանը 0- է լինելու։

Վարժ․ 224

ա) (x-1)(x-2)=0=> [ x-1=0; x-2=0=> [ x=1; x=2

Պատ՝․ 1; 2

բ) (x-3)(x+4)=0=> [ x-3=0; x+4=0=> [ x=3; x= -4

Պատ՝․ 3; -4

գ) (x-7)2=0=> [ x-7=0=> x=7

Պատ՝․ 7

դ) (x+4)(x-6)=0=> [ x+4=0; x-6=0=> [ x= -4; x=6

Պատ՝․ -4; 6

ե) x(x-2)=0=> [ x=0; x-2=0=> [ x=0; x=2

Պատ՝․ 0; 2

զ) (x+3)x=0=> [ x+3=0; x=0=> [ x= -3; x=0

Պատ՝․ 0; -3

է) 3x2=0=> x2=0=> x=0

Պատ՝․ 0

ը) -x2(3+x)=0=> [ -x2=0; 3+x=0=> [ -x2=0; x= -3=> [ x=0; x= -3

Պատ՝․ 0; -3

Շարունակել կարդալ

10. Երկքառակուսային հավասարումներ

Վարժ․ 217

ա) x4=(x2)2

բ) a6=(a3)2

գ) y8=(y4)2

դ) m10=(m5)2

Վարժ․ 218

ա) x4+2x2+1=0

x2=a

a2+2a+1=0

բ) m4-3+2m2=0

m4-2m2+3=0

m2=a

a2+2a-3=0

գ) 4y2-7y4=0

-7y4-4y2=0

y2=a

-7a2+4a=0

դ) 15-x4+2x2=0

-x4+2x2-15=0

x2=a

-a2+2a-15=0

ե) x6-3x3+2=0

x3=a

a2-3a+2=0

զ) y8-4=0

y4=a

a2-4=0

Վարժ․ 219

Շարունակել կարդալ

9․ Գաղափար ռացիոնալ հավասարման մասին

Վարժ․ 214

ա) 3x-(x-5/3)=x+5 (2)

3*2-(2-5/3) & 2+5

6-(-3/3) & 7

6-(-1) & 7

7=7

(2)-ը հավասարման արմատ է․

բ) 3(x-8)=4-2(x-1) (-0,1)

3*(-0,1-8) & 4-2(-0,1-1)

3*(-8,1)= -24,3 & 2*(-1,1)= -2,2

(-24,3) ≠ (-2,2)

(-0,1)-ը հավասարման արմատ չէ

գ) x2+4x-28=0 (3)

32+4*3-28=0

9+12-28= -7

-7 ≠ 0

(3)-ը հավասարման արմատ չէ

դ) (x2-x/x-3)-1=13+2x/10 (1/4)

(1/42-1/4: 1/4-3)-1= 1/16-1/4 : 1-12/4=> -3/16 : -11/4=> -3/16 * (-4/11)-1= -(41/44)

13+2x/10=(13+2*1/4) / 10=(13+1/2)/10=13,5/10

-(41/44) ≠ 13,5/10

(1/4)-ը հավասարման արմատ չէ

ե) 3x2-x3/5=6+2(x+1) (-2)

3*(-2)2-(-2)3/5 & 6+2(-2+1)

3*4-(-8)/5 & 6+2*(-1)

20/5 & 6+(-2)

4 = 4

(-2)-ը հավասարման արմատ չէ

զ) x5+3x4=7x3+7700 (-10)

x5+3x4=> (-10)5+3*(-10)4= -100.000+3*10.000= -100.000+30.000= -70.000

7x3+7700=> 7*(-10)3+7700= -7000+7700=700

-70.000 ≠ 700

(-10)-ը հավասարման արմատ չէ

է) x2+x/x-1=x+1/x-1 (1)

Հետևյալ արտահայտությունը լուծում չունի (ø)

ը) x2+1/x+1=2/x+1 (-1)

Հետևյալ արտահայտությունը լուծում չունի (ø)

Վարժ․ 215

ա) x+2=3 & x+5=6

x=3-2=> x=1 & x=6-5=> x=1

Հետևյալ արտահայտությունները համարժեք են

բ) 12x=7 & 1,2x=0,7

x=7/12=> x=0,583 & x=0,7/1,2=> x=0,583

Հետևյալ արտահայտությունները համարժեք են

գ) 2x=4 & 24x-7=41

2x=4=> x=2 & 24x=48=> x=2

Հետևյալ արտահայտությունները համարժեք են

դ) x-1=3 & x2-x/5=3x/5

x=3+1=> x=4 & x2-x=3x=> x2-4x=0=> x(x-4)=0=> [ x=0; x=4

Հետևյալ արտահայտությունները համարժեք չեն

ե) 3x-1+5x=x-12 & 7x= -11/=> x= -11/7

3x-1+5x-x+12=0=> 7x+11=0=> 7x= -11=> x= -11/7

7x= -11=> x= -11/7

Հետևյալ արտահայտությունները համարժեք չեն

զ) 1.1/3x2-x+8=0 & x2-0,75x+6=0

a=1.1/3; b= -1; c=8

D=1-42.2/3= -41.2/3=> ø

x2-0,75x+6=0

a=1; b= -0,75; c=6

D=0,56-24=ø

Հետևյալ արտահայտությունները համարժեք չեն

8. Ռացիոնալ անհավասարումների համակարգեր և համախմբեր

Վարժ․ 190

ա) { (x+1)(x-3)<0

{ (x+2)(x+1)<0 (1)

(x+1)(x-3)<0=> (x+1)(x-3)=0=> [ x+1=0; x-3=0=> [ x= -1; x=3

x ∈ (-1; 3)

(x+2)(x+1)<0=> (x+2)(x+1)=0=> [ x+2=0; x+1=0=> [ x= -2; x= -1

x ∈ (-2; -1)

(1)=> { x ∈ (-1; 3); x ∈ (-2; -1)

Պատ՝․ ⊘

բ) { x(x+5)<0

{ (x-1)(x-4)<0 (1)

x(x+5)<0=> x(x+5)=0=> [ x=0; x+5=0=> [ x=0; x= -5

x ∈ (-5; 0)

(x-1)(x-4)<0=> (x-1)(x-4)=0=> [ x-1=0; x-4=0=> [ x=1; x=4

x ∈ (1; 4)

(1)=> { x ∈ (-5; 0); x ∈ (1; 4)

Պատ՝․ ⊘

գ) { (x+2)(x-1)>0

{ (x+6)(x-3)<0 (1)

(x+2)(x-1)>0=> (x+2)(x-1)=0=> [ x+2=0; x-1=0=> [ x= -2; x=1

x ∈ (-∞; -2) ∪ (1; +∞)

(x+6)(x-3)<0=> (x+6)(x-3)=0=> [ x+6=0; x-3=0=> [ x= -6; x=3

x ∈ (-6; 3)

(1)=> { x ∈ (-∞; -2) ∪ (1; +∞); x ∈ (-6; 3)

Պատ՝․ ( -6; -2) ∪ (1; 3)

դ) { (x-5)(x-6)>0

{ (x+3)(x-4)<0 (1)

(x-5)(x-6)>0=> (x-5)(x-6)=0=> [ x-5=0; x-6=0=> [ x=5; x=6

x ∈ (-∞; 5) ∪ (6; +∞)

(x+3)(x-4)<0=> (x+3)(x-4)=0=> [ x+3=0; x-4=0=> [ x= -3; x=4

x ∈ (-3; 4)

(1)=> { x ∈ (-∞; 5) ∪ (6; +∞); x ∈ (-3; 4)

Շարունակել կարդալ

8. Ռացիոնալ անհավասարումների լուծումը

Վարժ․ 171

ա) 3x>0 & 3/x>0 — համարժեք են

բ) -5x>0 & 5/x<0 — համարժեք են

գ) x+1/x+2<0 & (x+1)(x+2)<0 — համարժեք են

Վարժ․ 172

ա) 5/x>0

Այս անհավասարումը համարժեք է 5x>0

5x=0=> x=0

x ∈ (0; +∞)

Պատ՝․ (0; +∞)

բ) -3/x<0

Այս անհավասարումը համարժեք է -3x<0

-3x=0=> x=0

x ∈ (0; +∞)

Պատ՝․ (0; +∞)

գ) 1/x-1<0

Այս անհավասարումը համարժեք է 1(x-1)<0

1(x-1)=0=> x-1=0=> x=1

x ∈ (-∞; 1)

Պատ՝․ (-∞; 1)

դ) 1/2x+1>0

Այս անհավասարումը համարժեք է 1(2x+1)>0

1(2x+1)=0=> x= -0.5

x ∈ (-0.5; +∞)

Պատ՝․ (-0.5; +∞)

Շարունակել կարդալ

7. Միջակայքերի եղանակ

Վարժ․ 163

ա) (x-1)(x-3)(x-5)>0

(x-1)(x-3)(x-5)=0=> [ x-1=0; x-3=0; x-5=0 => [ x=1; x=3; x=5

x ∈ (1; 3) ∪ (5; +∞)

Պատ՝․ (1; 3) ∪ (5; +∞)

բ) (x-1)(x-2)(x-4)<0

(x-1)(x-2)(x-4)=0=> [ x-1=0; x-2=0; x-4=0 => [ x=1; x=2; x=4

x ∈ (-∞; 1) ∪ (2;4)

Պատ՝․ (-∞; 1) ∪ (2;4)

գ) (x+1)(x-1)(x-2)>0

(x+1)(x-1)(x-2)=0=> [ x+1=0; x-1=0; x-2=0 => [x= -1; x=1; x=2

x ∈ (-1; 1) ∪ (2; +∞)

Պատ՝․ (-1; 1) ∪ (2; +∞)

դ) (x+2)(x+1)(x-3)<0

(x+2)(x+1)(x-3)=0=> [ x+2=0; x+1=0; x-3=0 => [x= -2; x= -1; x=3

x ∈ (-∞; -2) ∪ (-1; 3)

Պատ՝․ (-∞; -2) ∪ (-1; 3)

Վարժ․ 164

ա) (x2+x)(5x+5)<0

x*(x+1)(5x+5)=0=> [ x=0; x+1=0; 5x+5=0 => [ x=0; x= -1

x ∈ (-∞; -1) ∪ (-1; 0)

Պատ՝․ (-∞; -1) ∪ (-1; 0)

բ) (3x+12)(2x+10)(x2-2x)>0

(3x+12)(2x+10)x(x-2)=0 => [ 3x+12=0; 2x+10=0; x=0; x-2=0=>[ x= -4; x= -5; x=0; x=2

x ∈ (-∞; -5) ∪ (-4; 0) ∪ (2; +∞)

Պատ՝․ (-∞; -5) ∪ (-4; 0) ∪ (2; +∞)

գ) (6x2-12x)(x+4)<0

x*(6x-12)*(x+4)=0 => [x=0; 6x-12=0; x+4=0 => [ x=0; x=2; x= -4

x ∈ (-∞; -4) ∪ (0; 2)

Պատ՝․ (-∞; -4) ∪ (0; 2)

դ) (2x2-16x)(4x+4)(7x-21)>0

x*(2x-16)(4x+4)(7x-21)=0 => [ x=0; 2x-16=0; 4x+4=0; 7x-21=0=>[x=0; x=8; x= -1; x=3

x ∈ (-∞; -1) ∪ (0; 3) ∪ (8; +∞)

Պատ՝․ (-∞; -1) ∪ (0; 3) ∪ (8; +∞)

Շարունակել կարդալ