Լուծել հավասարումները՝ մաթեմատիկա ընտրություն

Մարտի 17

Հավասարումներ

Լուծել հետևյալ հավասարումները

Screenshot_2022-03-17 Norajr-Sargsyan_hanrahashvakan-varjutyunneri-joxovaxu pdf pdf

1. 4+x=10

x=10-4

x=6

4+6=10

2. x+5= -3

x= -3-5= -3+(-5)

x= -8

-8+5= -3

3. 7+x=4

x=4-7

x= -3

7+ (-3)=4

4. -6+x=5

x= 5-(-6)=5+6=11

-6+11=5

5. x-8=2

x=2+8

x=10

10-8=2

6. -1+x= -5

x= -5-(-1)= -5+1

x= -4

-1+(-4)= -5

7. (-3)+x=0

x= 0-(-3)=0+3

x=3

-3+3=0

8. -4-x=0

x= -4-0= -4+0

x= -4

-4-(-4)= -4+4=0

9. 18-x=6

x=18-6

x=12

18-12=6

10. 20-x= -4

x= 20-(-4)=20+4

x=24

20-24= -4

11. x+(-5)=13

x=13-(-5)=13+5

x=18

18+(-5)=13

12. x-(-8)= -4

x= -4+(-8)

x= -12

-12-(-8)= 12+8= -4

13. 3x=12

x=12/3

x=4

3*4=12

14. 5x=45

x=45/5

x=9

5*9=45

15. 4x= -20

x= -20/4

x= -5

4*(-5)= -20

16. -2x=12

-x=12/2

-x=6

x= -6

17. -6x= -18

6x=18

x=3

-6*3= -18

18. 5x+3=28

5x=28-3

5x=25

x=5

5*5+3=25+3=28

19. 7y+5=26

7y=26-5

7y=21

y=3

7*3+5=26=21+5=26

20. 9z-5=31

9z=31+5

9z=36

z=4

9*4-5=36-5=31

21. 3a-2 =-17

3a= -17+2

3a= -15

a= -5

3*(-5)-2= -15-2= -15+(-2)= -17

22. 4b+3= -13

4b= -13-3= -13+(-3)

4b= -16

b= -4

4*(-4)+3= -16+3= -13

23. 34-3x= -20

-3x=-20-34

-3x=-54

x= 18

34-54= -20

24. 7x-8=41

7x=41+8

7x=49

x=7

7*7-8=49-8=41

25. 28+3x=7x

3x-7x+28=7x-7x

-4x+28=7x-7x

-4x= -28

4x=28

x=7

28+3*7=7*7 = 28+21=49

26. 18+5x=8x

5x-8x= -18

-3x= -18

3x=18

x=6

18+5*6=8*6

18+30=48

27. 42-5y=2y

-5y-2y= -42

-7y= -42

7y=42

y=6

42-5*6=12

28. 3z+18=5z

3z-5z= -18

-2z= -18

2z=18

z=9

3*9+18=45

29. 5x+18=3x+38

5x-3x=38-18

2x=20

x=10

30. 2y+45=6y+17

2y-6y=17-45

-4y= -28

4y=28

y=7

31. 7z-5=3z+3

7z-3z=3+5

4z=8

z=2

32. 14z+23=19z-2

14z-19z= -2-23

-5z= -25

5z=25

z=5

33. 5x+3x-10=14

8x-10=14

8x=10+14

8x=24

x=3

34. 8m+m+4=49

9m=49-4

9m=45

m=5

35. 7a+2a+4=40

9a=40-4

9a=36

a=4

36. 15y-9y-2=10

6y=10+2

6y=12

y=2

37. -3-5x+20+2x=5

17-3x=5

-3x=5-17

-3x= -12

3x=12

x=4

38. 9b-3-5b+13=22

4b+10=22

4b=22-10

4b=12

b=3

39. 12-3x+5=5x+1

17-3x=5x+1

-3x-5x=1-17

-8x= -16

8x=16

x=2

40. 21a-11=4+6a

21a-6a=4+11

15a=15

a=1

Ֆիբոնաչիի հաջորդականություն և “Ոսկե ուղղանկյուն” տերմին

Պատմություն

Ֆիբոնաչիի հաջորդականությունն իր անունը ստացել է միջնադարում ապրած իտալացի մաթեմատիկոսից ՝ Լեոնարդո Պիզայից, որը հայտնի է նաև որպես Ֆիբոնաչի (1175-1250):

Վաճառականի որդի, ով դարձավ մաթեմատիկոս, իսկ հետագայում սերունդների կողմից ճանաչում ստացավ որպես միջնադարում Եվրոպայի առաջին խոշոր մաթեմատիկոս: Ոչ պակաս ՝ Ֆիբոնաչիի թվերի շնորհիվ (որոնք այն ժամանակ, հիշում ենք, դեռ այդպես չէին կոչվում):

Լեոնարդոն իր մանկությունը անցկացրել է Հյուսիսային Աֆրիկայում և շրջել ամբողջ Միջերկրական ծովում, որտեղ իմացել է հնդա-արաբական թվանշանային համակարգի մասին և հիացած է դրանով: Լեոնարդոյի արաբ ուսուցիչները, հավանաբար, նրան սովորեցրել են իրավահաջորդության մասին, ինչը արդեն հայտնի էր հինդուական մաթեմատիկոսներին:

Ավելի ուշ Պիզա վերադառնալիս Ֆիբոնաչին գրեց մի գիրք, որը կոչվում էր Լիբեր Աբացի (Abacus Book), որտեղ բացի հնդկական-արաբական թվերի առավելությունները հռոմեական թվերի նկատմամբ ընդգծելուց և 0-ից ներմուծելուց, նա խնդիր առաջացրեց ճագարների վերարտադրության հետ կապված:

Եվ այս խնդրի լուծումը հենց Ֆիբոնաչիի հաջորդականության թվերն են:

Պիզայի Լեոնարդոն չի հավակնում ժառանգության ստեղծմանը. Նա դա իր գրքում նշել է միայն որպես հետաքրքրասիրություն, որը գրավել է իրեն հետևող շատ գիտնականների ուշադրությունը: Դրանց թվում էր 19-րդ դարի ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Էդուարդ Լուկասը, ով, ուսումնասիրելով իրավահաջորդությունը, այն մկրտեց միջնադարյան իմաստունի անունով, որն այն հայտնի է դարձրել Արևմուտքում:

Ֆիբոնաչիի թվեր — թվային հաջորդականություն, որտեղ շարքի յուրաքանչյուր հաջորդ տերմինը հավասար է երկու նախորդների գումարին, այսինքն ՝ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, .. 75025, .. 3478759200, 5628750625, .. 260993908980000, .. 422297015649625, .. 195810680216418

Ֆիբոնաչին ինքն է բացել իր հայտնի շարքը ՝ անդրադառնալով նապաստակների թվի խնդրին, որը պետք է ծնվի մեկ զույգից մեկ տարվա ընթացքում: Պարզվեց, որ երկրորդից հետո յուրաքանչյուր հաջորդ ամսվա ընթացքում նապաստակների զույգերի թիվը ճշգրիտ հետևում է թվային շարքին, որն այժմ կրում է նրա անունը: Հետեւաբար, պատահական չէ, որ մարդն ինքը դասավորված է ըստ Ֆիբոնաչիի շարքի: Յուրաքանչյուր օրգան դասավորված է ըստ ներքին կամ արտաքին երկակիության:

Նապաստակների խնդիրը՝

Ֆիբոնաչին սահմանեց հետևյալ պայմանները. Կա մի զույգ նորածին նապաստակ (արու և էգ) այնպիսի հետաքրքիր ցեղատեսակի, որ նրանք կանոնավոր կերպով (երկրորդ ամսվանից սկսած) սերունդ են տալիս ՝ միշտ մեկ նոր զույգ ճագար: Բացի այդ, ինչպես կարող եք կռահել, արու և էգ:

Նաև սահմանվում է, որ ոչ մի նապաստակ չի մահանում նապաստակի ինչ -որ խորհրդավոր հիվանդությունից:

Մենք պետք է հաշվարկենք, թե քանի նապաստակ կստանանք մեկ տարվա ընթացքում:

  • 1 ամսվա սկզբին մենք ունենք 1 զույգ նապաստակ: Ամսվա վերջում նրանք զուգավորում են:
  • Երկրորդ ամիսը `մենք արդեն ունենք 2 զույգ նապաստակ (զույգ` ծնողներ + 1 զույգ `նրանց սերունդը):
  • Երրորդ ամիս. Առաջին զույգը ծնում է նոր զույգ, երկրորդ զույգը զուգավորում է: Ընդհանուր — 3 զույգ նապաստակ:
  • Չորրորդ ամիս. Առաջին զույգը ծնում է նոր զույգ, երկրորդ զույգը ժամանակ չի կորցնում և նաև ծնում է նոր զույգ, երրորդ զույգը առայժմ միայն զուգավորում է: Ընդհանուր — 5 զույգ նապաստակ:

Նապաստակների թիվը ներսում n-երորդ ամիս = նախորդ ամսվա նապաստակների զույգը + նորածին զույգերի թիվը (ներկայիս 2 ամիս առաջ նույնքան զույգ ճագարներ կան): Եվ այս ամենը նկարագրվում է բանաձևով, որը մենք արդեն տվել ենք վերևում. F n = F n-1 + F n-2.

Այսպիսով, մենք ստանում ենք կրկնվող (բացատրություն մոտ ռեկուրսիա— ստորև) թվային հաջորդականություն: Որում յուրաքանչյուր հաջորդ թիվը հավասար է երկու նախորդների գումարին.

  1. 1 + 1 = 2
  2. 2 + 1 = 3
  3. 3 + 2 = 5
  4. 5 + 3 = 8
  5. 8 + 5 = 13
  6. 13 + 8 = 21
  7. 21 + 13 = 34
  8. 34 + 21 = 55
  9. 55 + 34 = 89
  10. 89 + 55 = 144
  11. 144 + 89 = 233
  12. 233+ 144 = 377

Դուք կարող եք շարունակել հաջորդականությունը երկար ժամանակ ՝ 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987․․․։ Բայց քանի որ մենք կոնկրետ ժամկետ ենք սահմանել ՝ մեկ տարի, մեզ հետաքրքրում է 12 -րդ «քայլին» ստացված արդյունքը: Նրանք Հաջորդականության 13 -րդ անդամ ՝ 377:

Պատասխանը խնդրի մեջ է. 377 ճագար ձեռք կբերվի, եթե նշված բոլոր պայմանները բավարարվեն:

Ֆիբոնաչիի թվերը գրավեցին մաթեմատիկոսներին իրենց յուրահատկությամբ ՝ հայտնվելու ամենաանսպասելի վայրերում: Օրինակ, նկատվում է, որ Ֆիբոնաչիի թվերի հարաբերությունները, որոնք վերցված են մեկից մեկին, համապատասխանում են բույսերի ցողունի հարակից տերևների միջև եղած անկյունին, ավելի ճշգրիտ ՝ նրանք ասում են, որ շրջանառության այս համամասնությունը կազմում է. 1/2 — սիսեռի և լինդենի համար, 1/3 — հաճարենու համար, 2/5 — կաղնու և խնձորի համար, 3/8 — բարդի և վարդի համար, 5/13 — ուռենու և նուշի համար և այլն: Սերմերը հաշվելիս նույն թվերը կգտնեք արեւածաղկի պարույրների մեջ, երկու հայելիներից արտացոլվող ճառագայթների քանակի մեջ, մի մեղվաբջիջից մյուսը սողացող մեղվի ճանապարհների տարբերակների մեջ, շատ մաթեմատիկական խաղերում և հնարքներում:

Լեոնարդու Դա Վինչի հանրահայտ նկարը՝ ըստ Ֆիբոնաչիի հաջորդականության

Մոտավորապես մ. թ. 1200թ–ին իտալացի գիտնական Լեոնարդո Պիզանոն առավել հայտնի Ֆիբոնաչի անունով, հայտնաբերեց մի թվային հաջորդականություն, որը իրենից ներկայացնում է մի շատ հետաքրքիր համակարգ։ Այն ունի հետևյալ տեսքը.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …

Հաջորդականության յուրաքանչյուր հաջորդ անդամ՝ սկսած 3– րդից հավասար է իրեն նախորդող 2 անդամների գումարին։

Այն ուղղանկյունը, որի կողմերի երկարությունները հավասար են Ֆիբոնաչիի հաջորդականության 2 իրար հաջորդող անդամների, իրենից ներկայացնում է այսպես կոչված «Ոսկե ուղղանկյուն» կամ իդեալական ուղղանկյուն։ «Ոսկե ուղղանկյունը» միշտ կարելի է բաժանել քառակուսիների, որոնց կողմերի երկարությունները հավասար կլինեն հաջորդականության ընտրված անդամներին նախորդող անդամներին։ Օրինակ 8 և 13 կողմերով ուղղանկյունը կարելի է բաժանել 5, 3, 2, 1, 1 կողմերով քառակուսիների։

Նկարում պատկերված է 233 և 144 կողմերով «Ոսկե ուղղանկյուն», որը բաժանված է 12 քառակուսիների: Եթե անցկացնենք կոր մեր քառակուսիների անկյուններով, ապա կստանանք Արքիմեդի (կամ Ֆիբոնաչիի) պարույրը։ Պարույրը առանձին վերցված իրենից ոչ մի հետաքրքրություն չի ներկայացնում, առավել հետաքրքիր է այն, թե որտեղ մենք կարող ենք հանդիպել նրան։

Օրինակ վերցնենք արևածաղիկը։ Նրա սերմերի դասավորությունը 55, 34 և 21 կողմերով քառակուսիներից ստացված պարույրների իդեալական հաջորդականություն է։

Որոշակի ծառերի ճյուղեր ամեն տարի դուրս են գալիս Ֆիբոնաչիի հաջորդականության համաձայն: Առաջին տարին բունը աճում է առանց որևէ ճյուղ վերցնելու, մեկ տարի անց ամեն տարի արտադրում է մեկը և այլն: Իր հերթին, յուրաքանչյուր ճյուղ մեկ տարի անց կարող է ձեռք բերել նորը, ճիշտ ինչպես նապաստակները բազմանում են:

Արեւածաղկի ծաղիկների կենտրոնը պարունակում է սերմեր, որոնք դասավորված են լոգարիթմական պարույրների կապոցների մեջ, մի ուղղությամբ և մյուսով, որոնց քանակները համապատասխանում են Ֆիբոնաչիի երկու անընդմեջ թվերին:

Ֆիբոնաչիի համարները առկա են արևածաղկի և երիցուկի ծաղիկների թերթիկների քանակի մեջ, ինչպես նաև բազմաթիվ նախշերով, որոնցում բույսերը դասավորում են իրենց տերևները:

Փորձագետները հավաստիացնում են, որ այս եղանակով բույսերը օպտիմալացնում են տարածությունը, որպեսզի տերևներն ու ծաղիկները ունենան օպտիմալ աճ:

Որպես ելակետ կենտրոնական կետ ՝ այս կառույցները աճում և ստանում են արևի լույս, ուստի նոր տերևներն ու թերթիկները պետք է հնարավորինս քիչ ծածկեն առաջինը դուրս եկածները: Եվ դրան հասնելու լավագույն միջոցը Ֆիբոնաչիի հաջորդականության տեսանկյունից աճի նմուշի ընդունումն է:

Ծովի ալիքները մոտենալով ափին կորանում են՝ ստեղծելով պարույրներ, որոնք կարելի է մաթեմատիկորեն ճիշտ գծել 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 թվերով ստացված պարույրների միջոցով։

Բույսեր, կենդանիներ, մարդու մարմին և նույնիսկ տիեզերքում 100,000-ավոր լուսատարի հեռավորության վրա գտնվող գալակտիկաների պարույրները, որոնք կազմված են նույն սկզբունքով։

Նույնիսկ սովորական խխունջը իրենից ներկայացնում է Ֆիբոնաչիի հաջորդականություն։

Ֆիբոնաչիի հաջորդականությունը կիրառվում է տարբեր ոլորտներում.

-Արվեստում Ֆիբոնաչիի հաջորդականության հետ կապված ոսկե հարաբերակցությունը հայտնվում է մարդկանց և իրերի մեջ, որոնք ներկայացնում են մեծ արվեստագետներ, ինչպիսիք են Լեոնարդո դա Վինչին, Միքելանջելոն և Ալբրեխտ Դյուրերը:

-Աթենքի Պարտենոնի համամասնությունները նույնպես արձագանքում են ոսկե թվին:

-Մոցարտի, Բեթհովենի, Շուբերտի և Դեբյուսիի ստեղծագործություններում:

Կայքեր՝Առաջին, Երկրորդ, Երրորդ

Իմ պատրաստած տեսանյութը

Շարժում շրջանագծով

Մարտի 1-4

Շարժում շրջանագծով

Screenshot_2022-02-28 hanrahashiv-2 pdf

1)

ա) Պտույտների թիվը գտնելու համար կարող ենք գտնել, թե ինչքան ժամանակում կկատարի մեկ լրիվ պտույտ։

400/20=20վ

Մեկ րոպեն հավասար է վաթսուն վայրկյան, ուստի պետք է 20*60=1200 մ/ր

Իսկ հինգ րոպեյում կկատարի 1200*5=6000 մետր։ Իսկ քանի լրիվ պտույտ կատարեց մարմինը, պետք է 6000/400=15, քանի որ մենք գտանք հինգ րոպեյում անցած ճանապարհը, իսկ պտույտների թիվը գտանք բաժանելով ճանապարհի երկարության։

Պատ՝․ 15

բ) 27 րոպեյում կանցնի՝

Մենք գտանք, որ մեկ րոպեյում անցնում է 1200 մետր, իսկ պտույտների քանակը հավասար կլինի 1200/400=3, այսինքն երեք պտույտ է կատարում մեկ րոպեյում։ Իսկ 27-ը գտնելու համար, պարզապես պետք է 27*3=81 պտույտ։

Պատ՝․ 81 պտույտ

գ) 1 ժամ և 13 րոպեն կարելի է ներկայացնել րոպեների տեսքով։

Մեկ ժամը հավասար է 60 րոպե, 60+13=73 րոպե, և քանի որ մեկ րոպեյում կատարում է երեք պտույտ, 73 րոպեյում կկատարի՝

73*3=219 պտույտ։

Պատ՝․ 219 պտույտ

2)

ա) Խնդիրը լուծելու համար պետք է իմանալ, թե մեկ րոպեն քանի վարկյան է։

1 ր=60 վ

Մեկ լրիվ պտույտ կատարում է քսան վարկյանում, ուստի ութ պտույտը իմանալու համար պետք է

T=20վ

Ութ լրիվ պտույտ կկատարի 20*8=160 վարկյանում․

Պատ՝․ 160 վ

բ) Եթե մեկ պտույտ կատարում է 20 վարկյանում, 25 պտույտ կկատարի 25*20=500 վարկյանում։

Պատ՝․ 500 վ

ա) Եթե շարժվում է 20մ/վ, ուստի 7*20=140, գտանք, թե ինչքան կանցնի յոթ վարկյան անց

Պատ՝․ 140 մ

բ) 15*20=300, հեռավորությունը գտնելու համար պետք է 400-300=100 կմ

Պատ՝․ 100 մ

գ) 23 վարկյանում կանցնի 23*20=460, այսինքն ստացվում է, որ նա կատարած կլինի մեկ լրիվ պտույտ, քանի որ շրջանը 400 մետր է։ Այսինքն ստացվում է, որ նա կլինի 460-400=60 մ-ի վրա։

Պատ՝․ 60 մ

դ) 2,4 ր=2,4*60=144 վ, հեռավորությունը գտնելու համար նախ պետք է բազմապատկել 144*20=2880 մետր։ Իսկ սա նշանակում է, որ մարմինը կատարել է 2880/400=7 լրիվ պտույտ և մնացել է անցել 80 մետր։

Պատ՝․ 80 մ

ե) 5,6 ր=348 վայրկյան, 348*20/400=17 լրիվ պտույտ և 160 մետր։

6960-6800=160 մետր

Պատ՝․ 160 մետր

3)

ա) 2-րդ անգամ

120/20=6 վ

400+120=520, քանի որ երկրորդ անգամ կանցնի այդ մասով 520 մետր հետո, հետո էլ կբաժանենք քսանի, որպեսզի իմանանք, թե քանի վարկյանում կանցնի այդ հեռավորությունը։

520/20=26 վայրկյանում

Պատ՝․ 26 վայրկյան

բ) 4*400+120=1720, իմացանք, թե ինչքան անցավ հինգերորդ անգամ, իսկ ժամանակը գտնելու համար։ 1720/20=86:

Պատ՝․ 86 վայրկյան

գ) 7*400+120=2920, 2920/20=146

Պատ՝․ 146 վայրկյան

դ) (16*400+120):20=326

Պատ՝․ 326 վայրկյան

ա) 18-7=11, 11*20=220 մետր, 400-220=180

բ) 65-46=19, 19*20=380, 400-380=20 մետր

գ) 114-84=30, 30*20=600, 600-400=200

դ) 983-23=960, 960*20=19200, 19200/400=48, ուստի պատասխանը կհայտնվի նույն կետում․

125%=x

100%=20

125*20/100=25մ/վ

4 րոպեն=240 վայրկյան

240*25/400=15 պտույտ

Պատ՝․ տասնհինգ պտույտ

100%=20

80*20/100=16

Պատ՝․ 325 վայրկյան

ա) 360/45=8, 1/8=400/8=50, մեքենան կանցնի 50 մետր ճանապարհ մեկ-ութերորդ մասում, 50/20=2,5, 2.5*(20*3)=62,5

բ) 2,5+(8*20)=2,5+16-=162,5

գ) 2,5+(17*20)=342,5

ա) 23,5*20=470, 70/400=7/40, 360/40=9, 9*7=63 ստացվում է 630

բ) 54*20=1080, 1080/400=2 լրիվ պտույտ ու 280, 280/400*360=2520

գ) 1/10=36, 360/10=360

Screenshot_2022-02-28 hanrahashiv-2 pdf(1)

Գետի շարժման վերաբերյալ խնդիրներ

Փետրվարի 22-24

Շարժում գետով

Screenshot_2022-02-21 hanrahashiv-2 pdf

Առաջին

1) Ուղղությամբ շարժվելիս արագությունները գումարվում են = 15+3=18 կմ/ժ

2) Հակառակ շարժվելիս արագությունները հանվում են= 15-3=12 կմ/ժ

3) Մեկ ժամում անցնում է 18 կմ, իսկ եկուսուկես ժամում կանցնի 18*2,5=45 կմ

4) Քանի, որ շարժվում է հակառակ ուստի մեկ ժամում անցնում է 12 կմ, ստացվում է 60/12=5 ժամում․

Երկրորդ

1) Նավակի արագությունը 10 կմ է, իսկ գետինը 2,=> 10+2=12=>> 48/12=4 ժամում։

2) Պետք է 12+6=18 կմ-ի վրա։

3) Պետք է սկզբից 8*2.5=20 կմ, հետո պետք է 48-20=28 կմ։

4) Սկզբից պետք է 4-3.5=0․5 ժամ, որը հավասար է ժամի կեսին, ուստի հավասար է 12-ի կեսին, հավասար է 6 կմ։

5) 4*8=32 կմ

6) Սկզբից պետք է 48/4=12=> 1 ժամ, իսկ երկրորդ դեպքը, որ նորից գնա ու նույնպես ետ գա: Երկրորդ դեպքը հավասար է 8.5 ժամի։

7) Առաջին դեպքում 3, քանի որ (48-12)/12=3 ժամ, մյուս դեպքն էլ կես ժամ։

8) 4 ժամ+6 ժամ=10 ժամ

Screenshot_2022-02-21 hanrahashiv-2 pdf(1)

1) Առաջին նավակի արագությունը կավելանա, քանի որ ինքը գնում է 20 կմ/ժ արագությամբ, իսկ մյուսը տաս, քանի որ հոսանքին հակառակ է գնում։ Արագությունները գումարվում են 20+10=30 կմ/ժ, 60/30=2 ժամ, 2*10=20 կմ։

2) Մեկ ժամում գնում է 30 կմ, պետք է նրանց միջև հեռավորությունը, 50/30=1 ժամ և 40 րոպե։

3) 1,5 ժամ հետո կլինի — 15 կմ, 2.6 ժամում էլ կանցնի 18 կմ

4) 30 կմ

5) 24 կմ

6)

1,2 ժամ

7) S=vt

t=S/v

60-x/20=2x/10=60-x=4x

60=5x

x=12

BE=2x=12*2=24

60-12=48կմ

48/20=2,4 ժամ

Պատ՝․ 2,4 ժամ

8)

6 ժամ 48 րոպե

9) 60/30=2 ժամ

3,6-2=1,6 ժամ

40/1,6=25կմ/ժ

10)

80-6x=20-x

60=5x

x=12

40-36=4 կմ

4/10=0,4

0,4+2=2,4 ժամ

Պատ՝․ 2,4 ժամ

Լուծույթ և համաձուլվածք՝ ընտրություն

Փետրվարի 17

Լուծույթ և համաձուլվածք

Խնդիր 1: 500գրամ ջրից դատարկեցին 100գրամ և տեղը լցրեցին նույնքան աղ: Ստացված լուծույթից եռացրեցին 100գրամ և տեղը լցրեցին նույնքան աղ: Պարզել, թե քանի՞ տոկոսանոց լուծույթ ստացվեց:

500 գրամի մեջ կա 200 գրամ աղ

գտնենք 500-ի քանի տոկոսն է 200-ը

Պատ՝․ 40%

Խնդիր 2: 35% պղինձ պարունակող պղնձի, ցինկի և անագի համաձուլվածքը պարունակում է 11 կգ ցինկ և 15 կգ անագ։ Քանի՞ կգ է համաձուլվածքի զանգվածը։

100-35=65%

11+15=26

100*26/65=40

Պատ՝․ 40 կգ

Խնդիր 3: Դույլում կա 600 գրամ 25%-անոց աղի լուծույթ: Քանի՞ գրամ ջուր է պետք ավելացնել լուծույթին, որպեսզի ստացվի 20%-անոց լուծույթ:

25%-600 գրամ

20%-? գրամ

x=600*25/20=750 գրամ

Պատ՝․ 750 գրամ

Խնդիր 4: 300 գրամ 2%-անոց աղի լուծույթից գոլորշիացավ ինչ-որ քանակություն, որից հետո լուծույթում աղի պարունակությունը դարձավ 3%: Որոշել նոր լուծույթի զանգվածը։

2%-300 գրամ

3%-?

300*2/100=6 գրամ

6 գրամ-3%

x-100%

x=6/3*100=200 գրամ

Պատ՝․ 200 գրամ

Խնդիր 5: Քանի՞ գրամ ջուր է պետք ավելացնել 15%-անոց 600 գրամ աղի լուծույթին, որպեսզի ստացվի 10%-անոց լուծույթ:

15%-600 գրամ

10%-x

x=600*15/10=900 գրամ

Պատ՝․ 900 գրամ

Խնդիր 6: Ինչ-որ քանակությամբ աղի լուծույթին ավելացրին 5 կգ մաքուր ջուր, ստացվեց 20%-անոց լուծույթ։ Եթե ջրի փոխարեն ավելացնեին 5 կգ 80%-անոց լուծույթ, ապա կստացվեր 70%-անոց լուծույթ։ Քանի՞ կիլոգրամ էր սկզբնական լուծույթը։

5 կգ-20%

1 կգ-70%

5-1=4

70-20=50%

4 կգ=50%

8 կգ=100%

Պատ՝․ 8 կգ

Խնդիր 7: Պղնձի, ցինկի և անագի համաձուլվածքի 36 կգ-անոց կտորը պարունակում է 25% պղինձ։ Քանի՞ տոկոս պղինձ կպարունակի համաձուլվածքը այն բանից հետո, երբ այն ձուլեն 5 կգ պղնձի և 9 կգ անագի հետ։

36-ի 25 տոկոսը, հավասար է 9

9+5=14

36+5+9=50

14-ը 50-ի քանի տոկոսն է․

Պատ՝․ 28 տոկոս․

Խնդիր 8: 120կգ 30%անոց պղինձի համաձուլվածքից կտրեցին 40կգ-անոց մի կտոր և տեղը ձուլեցին նույնքան 15%-անոց պղնձի համաձուլվածք։ Քանի տոկոսանոց պղնձի համաձուլվածք ստացվեց։

120-ի 30 տոկոսը հավասար է

30 տոկոսը հավասար է 36

40-ի 15 տոկոսը հավասար է 6

42*100/120=35

Պատ՝․ 35

Տոկոսներով խնդիրներ՝ ընտրություն

Փետրվարի 15

Տոկոսով խնդիրներ

Խնդիր 1: Գտնել.

Կոշիկի գինը, եթե 20% զեղչից հետո նրա նոր գինը դարձավ 2400դրամ:

80%=2400

100%=x

100*2400/80=3000

Նասկիների նոր գինը, եթե 30% զեղչից առաջ նրա գինը 600դրամ էր:

100%=600

70%=x

600*70/100=420

Քանի տոկոս զեղչ է հայտարարվել շալվարի համար, եթե նրա գինը 5000 դրամ:

100%=7500

x=5000

5000*100/7500=33%

Զեղչի շնորհիվ որքա՞ն գումար կխնայվի 2զույգ կոշիկ, 3 զույգ նասկի և 1 շալվար գնելիս:

2*600+3*180+2500=1200+540+2500=4240

Խնդիր 2: Մեկ շարքով իրար կողք գրել 5 ամբողջ թվեր այնպես, որ իրար կողք գրված ցանկացած երկու թվերի գումարը լինի բացասական, իսկ գրված բոլոր թվերի գումարը լինի դրական:

8+(-9)+8+(-9)+8

Խնդիր 3: Երեք բանվոր երկու ժամում շարում են 3 մ պատ: Վեց բանվորը հինգ ժամում քանի՞ մ պատ կշարեն:

3*2=6

5/2=2.5

2.5*6=15

Խնդիր 4: Հաշվել 4-ին բազմապատիկ բնական թվերի քանակը, որոնք փոքր են 1000-ից:

1000/4=250 հատ թիվ

1000-ից փոքր քանի հատ թիվ կա, որ բաժանելով 5-ի ստացվում է 3 մնացորդ։

3,8,13,18,23,28,33,38,43,48․․․998=>200 հատ

Խնդիր 5: 5 ուղիղներ հատվում են նույն կետում։ Որոշել նարնջագույն անկյունների մեծությունների գումարը։

360/2=1800

Խնդիր 6: AB=192 սմ երկարությամբ հատվածի վրա նշված է C կետ այնպես, որ AC:CB=1:3.AC հատվածի վրա նշված է D կետ այնպես, որ CD հատվածը հավասար է AB հատվածի 1/12 մասին։ Գտնել AD և CB հատվածների միջնակետերի հեռավորությունը։

Մասերով խնդիրներ՝ընտրություն

Մասերով խնդիրներ

Խնդիր 1: Դասարանում աղջիկների քանակը 24-ով ավելի է, քան տղաների քանակը: Գտնել դասարանի աշակերտների քանակը, եթե հայտնի է, որ դասարանում աղջիկները երեք անգամ ավելի շատ են տղաներից:

x-աղջիկներ

y-տղաներ

x=y+24

x=3y

3y=y+24

2y=24

y=12

12+24+12=48

Պատ․՝ 48 աշակերտ

Խնդիր 2: Երեք դարակներում միասին կա 800 գիրք: Հայտնի է, որ երկրորդ դարակում կա երկու անգամ ավելի շատ գիրք, քան առաջինում, իսկ երրորդում 150-ով ավելի, քան երկրորդում: Պարզել, թե քանի՞ գիրք կա դարակներից յուրաքանչյուրում:

x-1

y-2

z-3

{x+y+z=800

{y=2x

{z=y+150

x+2x+y+150=800

3x+y+150=800

3x+y=800-150

3x+y=650

3x+2x=5x=650

5x=650

x=130

y=2x=2*130=260

z=y+150=260+150=410

130+260+410=800

(130;260;410)

Պատ․՝130,260,410

Խնդիր 3: Թատրոնում կա 525 մարդ, ընդ որում տղամարդիկ երեխաներից 2 անգամ շատ են, իսկ կանայք տղամարդկանցից 10-ով ավելի են: Պարզել, թե քանի՞ երեխա կա թատրոնում:

x-տղամարդիկ

y-կանայք

z-երեխաներ

{ x+y+z=525

{ x=2z

{ z=x+10

(525-10)/5=103

103*2=206

525-206-103=216

x=206

y=216

z=103

103+261+206=525

Պատ՝․ 103,206,216

Խնդիր 4: Ծովային կրիան կոկորդիլոսից 3 անգամ քիչ ապրեց, իսկ կետից 2 անգամ շատ ապրեց: Պարզել, թե որքա՞ն ապրեց ծովային կրիան, եթե կոկորդիլոսը կետից 250 տարի շատ ապրեց:

x- ծովային կրիա (2 մաս)

y- կետ (1 մաս)

z- կոկորդիլոս (6 մաս)

{ z=3x

{ x=2y

{ z=y+250

x=?

3x+2y+y+250=3x+3y+250

250/(9-4)=250/5=50

y=50

x=50*2=100

z=100+250=350

Պատ՝․ 50,100,350 (ծովային կրիան 100 տարի ապրեց)

Գծագիր՝

Խնդիր 5: 180 լուցկու հատիկը բաժանել երեք խմբի այնպես, որ առաջինը 40-ով, իսկ երկրորդը 20-ով մեծ լինի երրորդից:

180-(40+20)=120

120/3=40

40+20=60

40+40=80

80+40+60=180

Պատ․՝ I-80,II-60,III-40

Խնդիր 6: Հասմիկն Աշոտից 3 անգամ ավելի շատ մատիտ ունի։ Գտնել, թե քանի՞ մատիտ ունեն նրանք միասին, եթե Աշոտի մատիտները քիչ են Հասմիկի մատիտներից 8-ով։

8/2=4

4*4=16

Պատ՝․ միասին ունեն 16 մատիտ

Խնդիր 7: Առաջին պահեստում երկու անգամ ավելի շատ քարածուխ կա, քան երկրորդ պահեստում: Երբ առաջին պահեստ բերեցին 50տ, իսկ երկրորդ պահեստ 125տ քարածուխ, ապա երկու պահեստներում եղած քարածուխերի քանակը հավասարվեց: Պարզել, թե քանի՞ քարածուխ դարձավ երկու պահեստներում միասին:

125-50=75տ

75*2=150տ

Պատ՝․ 150տ

Խնդիր 8: Արմենն ու Վազգենը ունեն խնձորներ, ընդ որում Արմենի խնձորների քանակը Վազգենի խնձորների քանակի եռապատիկից 5 հատով պակաս է: Պարզել, թե քանի՞ խնձոր ունեն երկուսով միասին, եթե Արմենը Վազգենից 13 հատով ավել խնձոր ունի:

13+5=18

18/2=9

13+9=22

Պատ՝․ 22

Պատ՝․ միասին 24

Խնդիր 9: 33 մ երկարությամբ պարանը տրոհել երկու պարանների այնպես, որ կարճ կտորում եղած դեցիմետրերի քանակը հավասար լինի երկար կտորում եղած մետրերի քանակին։

1 մետր — 10 դեցիմետր

33մ = 330 դեցիմետր

Քանի,որ 1 մետրը հավասար է 10 դեցիմետր,ուստի հավասար լինելու համար պետք է 33-ը տրոհել 30 մետրի ու 30 դեցիմետրի, 30 մետրը կմնա նույնը,իսկ 30 դեցիմետրը կլինի 3 մետր,ուստի 30մ+30դ =30մ+3մ=33 մետր․

Պատ՝․ 30 մետր և 30 դեցիմետր

Խնդիր 10: Հոր տարիքը հավասար է որդու և աղջկա տարիքների գումարին: Որդու տարիքը երկու անգամ մեծ է քրոջ տարիքից և 20 տարով փոքր է հոր տարիքից: Քանի՞ տարեկան է որդին:

Մաթեմատիկական խնդիրներ

Փետրվարի  7-11

Խնդիր 1: 65 մարզիկներից բաղկացած թիմը ժամանում է հյուրանոց: Հյուրանոցում կան միայն 3 և 4 տեղանոց համարներ: Ամենաքիչը քանի՞ սենյակ պետք է վերցնել, մարզիկներին տեղավորելու համար (սենյակները պետք է ամբողջությամբ զբաղեցվեն):

Ենթադրենք,որ բոլոր սենյակները 3 տեղանոց են,ուստի 65/3=21(2)

Հետևաբար 4 սենյականոց համարների թիվը կլինի 2

Իսկ 3 սենյականոցը կլինի 21-2=19

Պատ․՝ 21

Խնդիր 2: Ծղրիդը գծի երկայնքով կարող է կատարել փոքր թռիչք՝ 50սմ երկարությամբ և մեծ թռիչք՝ 80սմ երկարությամբ: Ամենաքիչը քանի՞ քայլի օգնությամբ ծղրիդը կարող է իր սկզբնական դիրքից հեռանալ ճիշտ 1մ 70սմ:

1մ 70սմ=170 սմ

x-քայլ գնալը

y-գալու քայլ

50x+80y=170

5*50-80=250-80=170

Պատ․՝6 քայլով

Խնդիր 3: Ձիարշավարանում վազքը սկսում են 4 ձիեր: Առաջին ձին մեկ շրջանը վազում է 10 րոպեում, երկրորդ ձին՝ 12 րոպեում, երրորդ ձին՝ 15 րոպեում, իսկ չորրորդ ձին՝ 20 րոպեում: Վազքը սկսելուց որոշ ժամանակ անց բոլոր ձիերը միասին հայտնվեցին սկզբնակետում: Պարզել, թե այդ ժամանակի ընթացքում քանի՞ շրջան պտտվեցին բոլոր ձիերը միասին:

Գտնենք թվերի ընդհանուր բազմապատիկը,դա 60-ն է․

60/10=6

60/12=5

60/15=4

60/20=3

6+5+4+3=18 շրջան

Պատ՝․18 շրջան

Խնդիր 4: 18 հատ քարտերից յուրաքանչյուրի վրա գրված է 4 կամ 5 թիվը: Հայտնի է, որ բոլոր քարտերի վրա գրված թվերի գումարը բաժանվում է 17-ի: Քարտերից քանիսի՞ վրա է գրված 4 թիվը:

Ենթադրենք,որ բոլորը 5 են։

5*18=90

90/17=5(5)

Այսինքն 90-85=5

Պատ․՝5 հատ քարտ,կա որոնց վրա գրված է 4

Խնդիր 5: Գտնել ամենափոքր բնական թիվը, որի թվանշանների արտադրյալը հավասար է 420:

Վերլուծենք արտադրիչների

420/2/2/3/5/7

Գրենք աճման կարգով ՝ 22357

Ուստի ամենափոքր բնական թիվը,որը բաժանվում է 420-ի դա 22357-ն է․

Պատ․՝ 22357

Խնդիր 6: 4373 և 826 թվերը նույն թվի բաժանելիս համապատասխանաբար ստացվում են 8 և 7 մնացորդներ: Ի՞նչ թվի էին բաժանել:

Սկզբի համար 4373-8=4365

826-7=819

Հիմա առանձին-առանձին գտնում ենք արտադրիչները․

4365/3/3/5/97

819/3/3/7/13

Ընդհանուր արտադրիչները բազմապատկելով կգտնենք 3*3=9, թե ինչ կստացվի եթե թվերը բաժանենք

Ստուգում ՝

4373/9=465(8)

826/9=91(7)

Նաև կարող է լինել 3

Պատ․՝ բաժանել էին 9-ի

Խնդիր 7: Մորեխը թռչում է գծի երկայնքով, ընդ որում առաջին քայլին թռչում է 1սմ, հաջորդ քայլին` 2սմ, այնուհետև  3սմ, և այլն: Կարո՞ղ է արդյոք 2014 քայլից հետո նա հայտնվի նույն դիրքում, որտեղից սկսել էր:

Առաջին քայլով մենք պետք է հաշվենք 1-ից մինչև 2014 թվերի գումարը՝

1+2014=2015

2015*(2014/2)=2015*1012=2039180

Պատ․՝ ոչ

Ֆլեշմոբային քննարկումներ՝ Երրորդ մակարդակ

Խնդիրներ՝

1. Քանի՞ եռանիշ թիվ կա, որոնցից յուրաքանչյուրը բաժանվում է և՛ 7-ի, և՛ 11-ի:

Սկզբում հաշվում ենք 7-ի և 11-ի արտադրյալը,որի արդյունքում ստանում ենք 77։ 77-ը մեզ այս խնդրում պետք է գալու,որովհետև դրանով ենք առաջ գնալու։ Քանի,որ 77-ը երկնիշ թիվ է,այլ ոչ թե եռանիշը,ուստի այս թիվը չի հաշվում,որպես մեկ պատասխան։ Հաջորդ թվերը իմանալու համար գումարում ենք 77։

77+77=154,սա մեր եռանիշը առաջին թիվն է,մյուս թիվը կլինի 154+77,որը հավասար է 231 և այսպես շարունակ։ Ստանալու ենք հետևյալ թվերը՝

154, 231, 308, 385, 462, 539, 616, 693, 770, 847, 924

Ստացվում է,որ կա 11 եռանիշ թիվ,որոնք բաժանվում են և 7-ի և 11-ի։

Պատ՝․ 11 եռանիշ թիվ

2.Հայրը 38 տարեկան էր, որդին՝ 15, դուստրը՝ 5: Քանի՞ տարի հետո որդու և դստեր տարիքների գումարը հավասար կլինի հոր տարիքին:

38+x=15+5+2x

x-ը դա անհայտ տարին է

38-ին գումարելով x,կստանանք դուստրի և որդու տարիքի գումարի և նույն x-ի գումարը։

38+x=20+2x

x-երը կկրճատվեն,և արդյունքում կմնա սա՝

38=x+20

x=38-20

x=18

Պատ՝ 18 տարի հետո

3. Մայրը հաշվեց, եթե իր երեխաներին չորսական կոնֆետ բաժանի, ապա 3 կոնֆետ կավելանա: Որպեսզի յուրաքանչյուրն ստանա 5 կոնֆետ, այս դեպքում էլ երկու կոնֆետ կպակասի: Քանի՞ երեխա ուներ մայրը:

Քննարկման ժամանակ մտածեցինք փորձնական թիվ վերցնել և այդպես ստանալ պատասխանը։

x-ը մեր մոտ կոնֆետների քանակն է

4x= +3

5x= -2

Այպիսի տեսք կստանա խնդիրը՝

4*5=20

Նաև ավելացնում ենք մեր 3-ը,որը ավելացել էր

20+3=23 կոնֆետ,ըստ դրա կստանանք,որ երեխաների թիվը 5- է։

x=5

Ստուգում ՝

4*5=20бնաև ունեք ավելացում 3,ուստի 20+3=23

իսկ 5-ի դեպքում կունենանք պակաս, -2

5*5=25

25-23=2

Պատ՝ 5 երեխա

4. 50 մուկը 20 օրում ուտում է 25 կգ ցորեն: Քանի՞ կգ ցորեն կուտեն 10 մուկը 10 օրում:

Քանի,որ 50 մուկը կրճատվեց և դարձավ 10,ուստի առաջին քայլով կիմանանք,թե քանի անգամ կրճատվեց

50/10=5 անգամ

Այնուհետև 25 կգ ցորենը կբաժանենք 5-ի,որպեսզի ստանանք թե 5 ինչքան կուտի 5 մուկը

5/(20/10)=2,5 կգ,այսինքն մենք 5 մուկը բաժանեցինք օրերի քանակին։ Քանի,որ օրերն էլ էին կրճատվել,ուստի մենք պետք է դրանք էլ գտնեինք։

Պատ՝ 2,5 կգ

5. Գտիր թվային արտահայտության արժեքը. (2-1)+(4-3)+(6-5)+…+(2018-2017)+(2020-2019)+(2022-2021)։

Քանի,որ ամեն գործողությունից հետո մնում է, ուստի մենք պետք է հաշվենք փակագծերի թիվը,որպեսզի ստանանք պատասխանը։ Փակագծերի քանակն է 1011,սա էլ պատասխանն է

Պատ՝․ 1011

6. Չորս վարպետ ուզում են տուն կառուցել: Առաջին վարպետը, միայնակ աշխատելով, կարող է տունը կառուցել 1 տարում, երկրորդը՝ 2 տարում, երրորդը՝ 3 տարում, չորրորդը՝ 4 տարում: Միասին աշխատելով որքա՞ն ժամանակում նրանք կկառուցեն այդ տունը:

Այստեղ պետք է կիրառենք կոտորակներ։ Երկրորդ,երրորդ,չորրորդ բրիգադները կփոխարինենք կոտորակներով։ Կստացվի՝

1+1/2+1/3+1/4=25/12

25/12-ը դա շենքի բարձրությունն է,որն մեզ հայտնի չի և տվյալ պահին պետք չի

1/1 բաժանելով 25/12-ի,կստանանք՝

1/1։25/12=12/25

Սա էլ պատասխանն է

Պատ՝ 12/25 ժամանակում

7. Նավակը լճով 7 ժամում անցնում է այնքան ճանապարհ, որքան 6 ժամում գետի հոսանքի ուղղությամբ: Որքա՞ն ժամանակում կանցնի լաստը այդ նույն հեռավորությունը:

Քանի,որ նավակը լճով անցնում է 7 ժամում,իսկ գետակով 6 ժամում,մենք սա կկարողանանք պատկերել համակարգի միջոցով։ Քանի,որ լիճը չունի հոսք,չունի իր սեփական արագությունը,իսկ գետակը ունի,ուստի դա ազդում է նավակի վրա,որ այն կարողանում է ավելի արագ լողալ։

7x=6x+1

7-6=1

7*6=42

Այսինքն մեկ ժամում կանցնի 1 կմ,իսկ 42 ժամում 42 կիլոմետր

Պատ՝․ 1 կմ/ժ արագությամբ 42 ժամում

8. Չորս ընկեր՝ Արշակը, Գեղամը,Հայկը և Ներսեսը մասնակցեցին դահուկային մրցույթին: Հաջորդ օրը այն հարցին, թե ով ինչ տեղ է գրավել, նրանք պատասխանեցին այսպես. Արշակը. «Ես ոչ առաջինն էի, ոչ էլ վերջինը». : Գեղամը. «ես վեջինը չէի» : Հայկը.« Ես առաջինն էի» : Ներսեսը. «Ես վերջինն է»: Հայտնի է, որ այդ պատասխաններից երեքը ճիշտ են, իսկ մեկը՝ սխալ: Ո՞վ էր առաջինը:

Առաջինն էր Գեղամը,իսկ ստախոսն էր Հայկը

Պատ՝․ Գեղամը

9. Գյուղացին շուկայում ձու էր վաճառում: Առաջին գնորդին նա վաճառեց ամբողջի կեսը և էլի մեկ ձու: Երկրորդ գնորդը վերցրեց մնացածի կեսը և էլի մեկ ձու, երրորդը գնեց մնացածի կեսը և էլի մեկ ձու: Զամբյուղում մնաց 10 ձու: Քանի՞ ձու էր գյուղացին բերել շուկա:

Այս խնդիրը պետք է լուծել հակառակ գործողությամբ։

(10+1)*2=22,որովհետև երրորդ գնորդը կեսն էր վերցրել ու էլի մեկ ձու

22*2+1=45,որովհետև երկրորդ գնորդը գնել էր առաջինի կեսը և էլի մեկ ձու

45*2+1=91 ձու,որովհետև առաջին գնորդի գնելուց առաջ այսքան է եղել

Ստուգում ՝

(91-1)/2=45

(45-1)/2=22

22/2-1=10 ձու

Պատ՝ 91 ձու

10. Երեք հավասար քառակուսիներ դասավորված են այնպես, ինչպես ցույց է տրված նկարում: Գտեք AE և BD ուղիղների կազմած անկյունը:

Подпись отсутствует

Դասարանական քննարկում

Ֆլեշմոբային խնդիրների քննարկում ՝ Երկրորդ մակարդակ

Երկրորդ մակարդակ

1. Երկու թվերի գումարը 65 է: Այդ թվերից մեկի և 64-ի գումարը 72 է: Գտեք մյուս թիվը:

{ x+y=65

{ x+64=72

x=72-64

x=8

x+y=65

8+y=65

y=65-8

y=57

(8;57)

Պատ՝․ 57

2. Երեք մետաղադրամիներից մեկը կեղծ է՝ ավելի ծանր է իսկականից, ընդ որում մետաղադրամները արտաքինից իրարից չեն տարբերվում: Նժարավոր կշեռքի օգնությամբ ամենաքիչը քանի՞ կշռումով կարող ես գտնել կեղծը մետաղադրամը:

Ամենաքիչը մեկ անգամ․ Դիտարկենք երկու տարբերակ․

Մենք կարող ենք երկու հատը կշռել,և եթե երկուսն էլ ունենան նույն կշիռները, ապա կեղծը երրորդն է,որը մենք չենք կշռել։ Երկրորդ տարբերակում կարող ենք ունենալ երկու ոչ իրար հավասար։ Այստեղ կեղծը այն է,որը ունի ավելի մեծ կշիռ։

Պատ՝․1

3. Գտեք այն ամենափոքր եռանիշ թիվը, որը բաժանվում է և՛ 3-ի, և՛ 4-ի:

Ամենափոքր եռանիշ թիվը,որը բաժանվում է 3-ի և 4-ի

Դա 108-ն է

108/4=27

108/3=36

Այստեղ մենք օգտվեցինք հայտանիշներից։ Երեքի են բաժանվում այն թվերը,որոնք թվանշանների գումարը բաժանվում է 3-ի։ Իսկ 4-ի են բաժանվում այն թվերը,որոնց վերջին երկու թվանշանները բաժանվում են 4-ի։

Պատ՝․108

4. Մի շարքով պետք է տնկել վեց տնկի՝ 3 խնձորենի և 3 դեղձենի: Նույն մրգի տնկիները իրար նման են, և տարբերվում են մյուս մրգի տնկիներից: Շարքում առաջին և վերջին տնկիները պետք է տարբեր մրգերի լինեն: Քանի՞ տարբեր ձևով է հնարավոր իրականացնել ծառատունկը:

Դիտարկենք այս խնդիրը համարակալելով․

Դեղձերը նշանակենք 1,իսկ խնձորները 2

Մենք չենք կարող առաջին և վերջին մրգերի տեղերը փոխել,ուստի մենք կարող ենք միմիայն փոխել 4 մրգերի տեղեր։

Լինելու ես այսպես․

1,1,1,2,2,2

1,1,2,1,2,2

1,2,2,1,1,2

1,2,1,1,2,2

1,1,2,2,1,2

Քանի,որ մենք կարող ենք տեղերով փոխել առաջին և վերջին մրգերը,դրանով չխախտելով խնդրի պայմանը,որ առաջինը և վերջինը պետք է լինեն տարբեր։ Ուստի մենք կարող ենք տեղերով փոխել և կստանանք նույն պատկերը ինչ առաջինում։ Պատասխանը կլինի

6*2=12

Պատ՝․ 12 տարբերակ

5. Գայանեն գրեց 5, 2, 1, 4 թվանշանները: Նարեն դրանցից ընտրելով 3 թվանշան գրեց 4-ի բաժանվող հնարավոր ամենամեծ եռանիշ թիվը: Եվան այդ նույն թվանշաններից ընտրելով 3 թվանշան, գրեց 4-ի բաժանվող հնարավոր ամենափոքր եռանիշ թիվը: Աղջիկների ընտրած թվանշաններից քանի՞սն են ընդհանուր։

Ամենամեծ թվանշանը այստեղ 5-ն է։ Ուստի եռանիշի առաջին թվանշանը պետք է լինի ամենամեծը հետևյալներից։ 542 չի բաժանվում 4-ի,բայց 524-ը բաժանվում է,ուստի ամենամեծ եռանիշ թիվը այս խնդրում դա 524-ն է,որը բաժանվում է 4-ի։ Իսկ ամենափոքր եռանիշը,որը բաժանվում է 3-ի դա 124-ն է,մենք պարզապես փոխում ենք 5-ի և 1-ի տեղերը,քանի,որ 5-ը ամենամեծն է այստեղ,իսկ 1-ը ամենափոքրը․ Ստացվում է,որ 524-ում և 124-ում ընդհանուր թվանշաններն են 2-ը և 4-ը,ուստի ստացվում է ,որ օգտագործվել է երկու նույն թվանշան։

Պատ․՝ 2 թվանշան

6․ Ավտոմատ սարքում երկու գույնի կոնֆետ կա՝ կարմիր և դեղին: Յուրաքանչյուր 100 դրամի դիմաց սարքը տալիս է մեկ կոնֆետ՝ գույնի ընտրությունը կատարում է պատահականորեն: Արամը ամենաքիչը քանի՞ դրամ պետք է ծախսի, որպեսզի նույն գույնի գոնե երկու կոնֆետ հաստատ ունենա:

Ամենաքիչը մենք պետք է ծախսենք 300 դրամ։ Դիտարկենք երկու տարբերակ․

Եթե մեր առաջին փորձից ընկնի կարմիր կամ դեղին,մենք կարող ենք ասել, որ կունենանք մի գույն,որի երկրորդը չկա։ Երկրորդ փորձից հավանականությունը 1/2- է ,որ կընկնի հենց նույն գույնը։ Ենթադրենք ,որ ընկավ կարմիրը,իսկ մեր մոտ դեղին էր։ Ստացվում է, որ մենք ունեցանք երկու տարբեր գույների կոնֆետ։ Երրորդն էլ կլինի վերջնականը,քանի, որ կապ չունի կընկնի կարմիր,թե դեղին,կարևորը մենք կունենանք մի գույնից երկու հատ։

Պատ՝․ 300 դրամ

7. 15 վարպետը տունը կառուցեցին 150 օրում։ Նույն աշխատանքը 30 վարպետը քանի՞ օրում կավարտեն, եթե բոլոր վարպետները աշխատում են նույն արագությամբ:

Քանի,որ 15 վարպետը կառուցում են 150 օրում,ուստի մի վարպետը կկառուցի ավելի դանդաղ,և դա գտնելու համար մենք 15*150 կանենք,և կստանանք 2250 օր։ Նույն աշխատանքը 30 վարպետը կանի 2250/30=75 օրում։ Նույն տրամաբանությամբ կարող ենք գրել ուրիշ տարբերակով։ Քանի,որ 30-ը 15-ց երկու անգամ մեծ է,ուստի աշխատանքը կկատարվի երկու անգամ ավելի արագ։ Դրա համար մենք պարզապես 150/2 և կստանանք 75,որը նույնպես լուծում է։

Պատ՝․ 75 օրում

8. Ամենաքիչը քանի՞ գույն է անհրաժեշտ 8×8 չափի քառակուսի աղյուսակը ներկելու համար, որ հարևան վանդակների որևէ զույգ նույն գույնի չլինի (վանդակը ամբողջությամբ ներկում ենք մեկ գույնով, հարևան կհամարենք այն վանդակները, որոնք ընդհանուր կողմ ունեն):

Այս խնդիրը նմանացնում է շախմատի տախտակին,որը նույն ձև է կառուցված։ Այնպես,որ երկու նույն գույն չլինեն իրար հարևան։

Այնտեղ էլ է երկու գույնով ներկված,ուստի ամենաքիչը 2 գույնն է,քանի,որ մյուս դեպքերում նույն գույները կլինեն հարևան։

Պատ՝․ 2 գույն

9. Գևորգը geogebra ծրագրում պատկերեց շրջանագիծ և վրան նշեց 15 կետ։ Կետերից յուրաքանչյուրը հատվածով միացրեց նշված կետերից բոլոր մնացածների հետ։ Քանի՞ հատված կստացվի:

Կստացվի մոտավորապես հետևյալ պատկերը․

Մենք կարող ենք հաշվել հետևյալ ձև։

Քանի,որ առաջին կետից 15 ուղղությամբ տանելու դեպքում կստացվի 15 հատված։ Քանի,որ ամեն հերթափոխից հետո մենք ունենում ենք արդեն երկու կետերով վերցված հատված,ուստի մենք պետք է այն հաշվի չառնենք։ Կստացվի այսպիսի մի լուծում․

15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=120

Պատ՝․ 120 հատված

10. Մաթեմատիկայի օլիմպիադայի ժամանակ Աշոտը պետք է 20 խնդիր լուծեր: Ժամանակը լրանալուց հետո, Աշոտը հաշվեց, որ իր լուծած խնդիրների քանակը չորս անգամ ավելի շատ է, քան չլուծածները: Քանի՞ խնդիր էր լուծել Աշոտը:

Այստեղ նույնպես պետք է հաշվի առնենք 4-ի հայտանիշները։ Այս խնդիրը կարելի է լուծել 20-4 տարբերակով,որը արդյունքում կտա 16 պատասխանը։ Իսկ 16-ը 4 անգամ մեծ է 4-ից։ Այսինքն 42=16:

Պատ՝․ 16

Ընտրության առաջադրանքներ

Դեկտեմբերի 21

Թեմա՝  Խնդիրներ համաձուլվածքի վերաբերյալ

1. 6=?

20=100%

6*100/20=600/20=30%

2. 100%-35%=65%

26 կգ=65%

x=35%

26*100%/65%=40 կգ

3․ 100%-25%=75%

75%=27 գ

100%=x

x=27*100/75=36 գրամ

4․ 15կգ=40

9+9=18

15+9=24

18=x

24=100%

75%=ցինկ

պղինձ=100%-75%=25%

5. 40-ի 20 %-ը=8 գրամ

8+10=18

40+10+50=100%

18=x

50=100%

18*100/50=1800/50=36 գրամ

6․ 60կգ-ի 30%=60*30/100=18 կգ

60-18=42

42+6=48 (ցինկ)

80-ի 32%=40

7. 48*4/3=36

75*28/100=21

33-ը 123-ի քանի տոկոսն է?

123=100%

33=?%

33*100/123=26.8% պղինձ

100%-26.8%=73.2% ցինկ

8․ 3x+4x=7x

7x=63

x=9

9. 4x+7x=11x

3*11=33 գրամ ոսկի

11x=12 գ

10․ 5x+3x=8x

5x-3x=2x

2x=28

x=14

8x=14*8=104