Ֆիբոնաչիի հաջորդականություն և “Ոսկե ուղղանկյուն” տերմին

Պատմություն

Ֆիբոնաչիի հաջորդականությունն իր անունը ստացել է միջնադարում ապրած իտալացի մաթեմատիկոսից ՝ Լեոնարդո Պիզայից, որը հայտնի է նաև որպես Ֆիբոնաչի (1175-1250):

Վաճառականի որդի, ով դարձավ մաթեմատիկոս, իսկ հետագայում սերունդների կողմից ճանաչում ստացավ որպես միջնադարում Եվրոպայի առաջին խոշոր մաթեմատիկոս: Ոչ պակաս ՝ Ֆիբոնաչիի թվերի շնորհիվ (որոնք այն ժամանակ, հիշում ենք, դեռ այդպես չէին կոչվում):

Լեոնարդոն իր մանկությունը անցկացրել է Հյուսիսային Աֆրիկայում և շրջել ամբողջ Միջերկրական ծովում, որտեղ իմացել է հնդա-արաբական թվանշանային համակարգի մասին և հիացած է դրանով: Լեոնարդոյի արաբ ուսուցիչները, հավանաբար, նրան սովորեցրել են իրավահաջորդության մասին, ինչը արդեն հայտնի էր հինդուական մաթեմատիկոսներին:

Ավելի ուշ Պիզա վերադառնալիս Ֆիբոնաչին գրեց մի գիրք, որը կոչվում էր Լիբեր Աբացի (Abacus Book), որտեղ բացի հնդկական-արաբական թվերի առավելությունները հռոմեական թվերի նկատմամբ ընդգծելուց և 0-ից ներմուծելուց, նա խնդիր առաջացրեց ճագարների վերարտադրության հետ կապված:

Եվ այս խնդրի լուծումը հենց Ֆիբոնաչիի հաջորդականության թվերն են:

Պիզայի Լեոնարդոն չի հավակնում ժառանգության ստեղծմանը. Նա դա իր գրքում նշել է միայն որպես հետաքրքրասիրություն, որը գրավել է իրեն հետևող շատ գիտնականների ուշադրությունը: Դրանց թվում էր 19-րդ դարի ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Էդուարդ Լուկասը, ով, ուսումնասիրելով իրավահաջորդությունը, այն մկրտեց միջնադարյան իմաստունի անունով, որն այն հայտնի է դարձրել Արևմուտքում:

Ֆիբոնաչիի թվեր — թվային հաջորդականություն, որտեղ շարքի յուրաքանչյուր հաջորդ տերմինը հավասար է երկու նախորդների գումարին, այսինքն ՝ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, .. 75025, .. 3478759200, 5628750625, .. 260993908980000, .. 422297015649625, .. 195810680216418

Ֆիբոնաչին ինքն է բացել իր հայտնի շարքը ՝ անդրադառնալով նապաստակների թվի խնդրին, որը պետք է ծնվի մեկ զույգից մեկ տարվա ընթացքում: Պարզվեց, որ երկրորդից հետո յուրաքանչյուր հաջորդ ամսվա ընթացքում նապաստակների զույգերի թիվը ճշգրիտ հետևում է թվային շարքին, որն այժմ կրում է նրա անունը: Հետեւաբար, պատահական չէ, որ մարդն ինքը դասավորված է ըստ Ֆիբոնաչիի շարքի: Յուրաքանչյուր օրգան դասավորված է ըստ ներքին կամ արտաքին երկակիության:

Նապաստակների խնդիրը՝

Ֆիբոնաչին սահմանեց հետևյալ պայմանները. Կա մի զույգ նորածին նապաստակ (արու և էգ) այնպիսի հետաքրքիր ցեղատեսակի, որ նրանք կանոնավոր կերպով (երկրորդ ամսվանից սկսած) սերունդ են տալիս ՝ միշտ մեկ նոր զույգ ճագար: Բացի այդ, ինչպես կարող եք կռահել, արու և էգ:

Նաև սահմանվում է, որ ոչ մի նապաստակ չի մահանում նապաստակի ինչ -որ խորհրդավոր հիվանդությունից:

Մենք պետք է հաշվարկենք, թե քանի նապաստակ կստանանք մեկ տարվա ընթացքում:

1 ամսվա սկզբին մենք ունենք 1 զույգ նապաստակ: Ամսվա վերջում նրանք զուգավորում են:
Երկրորդ ամիսը `մենք արդեն ունենք 2 զույգ նապաստակ (զույգ` ծնողներ + 1 զույգ `նրանց սերունդը):
Երրորդ ամիս. Առաջին զույգը ծնում է նոր զույգ, երկրորդ զույգը զուգավորում է: Ընդհանուր — 3 զույգ նապաստակ:
Չորրորդ ամիս. Առաջին զույգը ծնում է նոր զույգ, երկրորդ զույգը ժամանակ չի կորցնում և նաև ծնում է նոր զույգ, երրորդ զույգը առայժմ միայն զուգավորում է: Ընդհանուր — 5 զույգ նապաստակ:

Նապաստակների թիվը ներսում n-երորդ ամիս = նախորդ ամսվա նապաստակների զույգը + նորածին զույգերի թիվը (ներկայիս 2 ամիս առաջ նույնքան զույգ ճագարներ կան): Եվ այս ամենը նկարագրվում է բանաձևով, որը մենք արդեն տվել ենք վերևում. F n = F n-1 + F n-2.

Այսպիսով, մենք ստանում ենք կրկնվող (բացատրություն մոտ ռեկուրսիա— ստորև) թվային հաջորդականություն: Որում յուրաքանչյուր հաջորդ թիվը հավասար է երկու նախորդների գումարին.

1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 2 = 5
5 + 3 = 8
8 + 5 = 13
13 + 8 = 21
21 + 13 = 34
34 + 21 = 55
55 + 34 = 89
89 + 55 = 144
144 + 89 = 233
233+ 144 = 377

Դուք կարող եք շարունակել հաջորդականությունը երկար ժամանակ ՝ 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987․․․։ Բայց քանի որ մենք կոնկրետ ժամկետ ենք սահմանել ՝ մեկ տարի, մեզ հետաքրքրում է 12 -րդ «քայլին» ստացված արդյունքը: Նրանք Հաջորդականության 13 -րդ անդամ ՝ 377:

Պատասխանը խնդրի մեջ է. 377 ճագար ձեռք կբերվի, եթե նշված բոլոր պայմանները բավարարվեն:

Ֆիբոնաչիի թվերը գրավեցին մաթեմատիկոսներին իրենց յուրահատկությամբ ՝ հայտնվելու ամենաանսպասելի վայրերում: Օրինակ, նկատվում է, որ Ֆիբոնաչիի թվերի հարաբերությունները, որոնք վերցված են մեկից մեկին, համապատասխանում են բույսերի ցողունի հարակից տերևների միջև եղած անկյունին, ավելի ճշգրիտ ՝ նրանք ասում են, որ շրջանառության այս համամասնությունը կազմում է. 1/2 — սիսեռի և լինդենի համար, 1/3 — հաճարենու համար, 2/5 — կաղնու և խնձորի համար, 3/8 — բարդի և վարդի համար, 5/13 — ուռենու և նուշի համար և այլն: Սերմերը հաշվելիս նույն թվերը կգտնեք արեւածաղկի պարույրների մեջ, երկու հայելիներից արտացոլվող ճառագայթների քանակի մեջ, մի մեղվաբջիջից մյուսը սողացող մեղվի ճանապարհների տարբերակների մեջ, շատ մաթեմատիկական խաղերում և հնարքներում:

Լեոնարդու Դա Վինչի հանրահայտ նկարը՝ ըստ Ֆիբոնաչիի հաջորդականության

Մոտավորապես մ. թ. 1200թ–ին իտալացի գիտնական Լեոնարդո Պիզանոն առավել հայտնի Ֆիբոնաչի անունով, հայտնաբերեց մի թվային հաջորդականություն, որը իրենից ներկայացնում է մի շատ հետաքրքիր համակարգ։ Այն ունի հետևյալ տեսքը.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …

Հաջորդականության յուրաքանչյուր հաջորդ անդամ՝ սկսած 3– րդից հավասար է իրեն նախորդող 2 անդամների գումարին։

Այն ուղղանկյունը, որի կողմերի երկարությունները հավասար են Ֆիբոնաչիի հաջորդականության 2 իրար հաջորդող անդամների, իրենից ներկայացնում է այսպես կոչված «Ոսկե ուղղանկյուն» կամ իդեալական ուղղանկյուն։ «Ոսկե ուղղանկյունը» միշտ կարելի է բաժանել քառակուսիների, որոնց կողմերի երկարությունները հավասար կլինեն հաջորդականության ընտրված անդամներին նախորդող անդամներին։ Օրինակ 8 և 13 կողմերով ուղղանկյունը կարելի է բաժանել 5, 3, 2, 1, 1 կողմերով քառակուսիների։

Նկարում պատկերված է 233 և 144 կողմերով «Ոսկե ուղղանկյուն», որը բաժանված է 12 քառակուսիների: Եթե անցկացնենք կոր մեր քառակուսիների անկյուններով, ապա կստանանք Արքիմեդի (կամ Ֆիբոնաչիի) պարույրը։ Պարույրը առանձին վերցված իրենից ոչ մի հետաքրքրություն չի ներկայացնում, առավել հետաքրքիր է այն, թե որտեղ մենք կարող ենք հանդիպել նրան։

Օրինակ վերցնենք արևածաղիկը։ Նրա սերմերի դասավորությունը 55, 34 և 21 կողմերով քառակուսիներից ստացված պարույրների իդեալական հաջորդականություն է։

Որոշակի ծառերի ճյուղեր ամեն տարի դուրս են գալիս Ֆիբոնաչիի հաջորդականության համաձայն: Առաջին տարին բունը աճում է առանց որևէ ճյուղ վերցնելու, մեկ տարի անց ամեն տարի արտադրում է մեկը և այլն: Իր հերթին, յուրաքանչյուր ճյուղ մեկ տարի անց կարող է ձեռք բերել նորը, ճիշտ ինչպես նապաստակները բազմանում են:

Արեւածաղկի ծաղիկների կենտրոնը պարունակում է սերմեր, որոնք դասավորված են լոգարիթմական պարույրների կապոցների մեջ, մի ուղղությամբ և մյուսով, որոնց քանակները համապատասխանում են Ֆիբոնաչիի երկու անընդմեջ թվերին:

Ֆիբոնաչիի համարները առկա են արևածաղկի և երիցուկի ծաղիկների թերթիկների քանակի մեջ, ինչպես նաև բազմաթիվ նախշերով, որոնցում բույսերը դասավորում են իրենց տերևները:

Փորձագետները հավաստիացնում են, որ այս եղանակով բույսերը օպտիմալացնում են տարածությունը, որպեսզի տերևներն ու ծաղիկները ունենան օպտիմալ աճ:

Որպես ելակետ կենտրոնական կետ ՝ այս կառույցները աճում և ստանում են արևի լույս, ուստի նոր տերևներն ու թերթիկները պետք է հնարավորինս քիչ ծածկեն առաջինը դուրս եկածները: Եվ դրան հասնելու լավագույն միջոցը Ֆիբոնաչիի հաջորդականության տեսանկյունից աճի նմուշի ընդունումն է:

Ծովի ալիքները մոտենալով ափին կորանում են՝ ստեղծելով պարույրներ, որոնք կարելի է մաթեմատիկորեն ճիշտ գծել 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 թվերով ստացված պարույրների միջոցով։

Բույսեր, կենդանիներ, մարդու մարմին և նույնիսկ տիեզերքում 100,000-ավոր լուսատարի հեռավորության վրա գտնվող գալակտիկաների պարույրները, որոնք կազմված են նույն սկզբունքով։

Նույնիսկ սովորական խխունջը իրենից ներկայացնում է Ֆիբոնաչիի հաջորդականություն։

Ֆիբոնաչիի հաջորդականությունը կիրառվում է տարբեր ոլորտներում.

-Արվեստում Ֆիբոնաչիի հաջորդականության հետ կապված ոսկե հարաբերակցությունը հայտնվում է մարդկանց և իրերի մեջ, որոնք ներկայացնում են մեծ արվեստագետներ, ինչպիսիք են Լեոնարդո դա Վինչին, Միքելանջելոն և Ալբրեխտ Դյուրերը:

-Աթենքի Պարտենոնի համամասնությունները նույնպես արձագանքում են ոսկե թվին:

-Մոցարտի, Բեթհովենի, Շուբերտի և Դեբյուսիի ստեղծագործություններում:

Կայքեր՝Առաջին, Երկրորդ, Երրորդ

Իմ պատրաստած տեսանյութը