11. Վերածվող հավասարումներ

Վարժ․ 222

ա) x³+5x²+6х=0

Սա պետք է լուծենք հետևյալ կերպ։ Առաջին հերթին պետք է դարձնենք, այսինքն վերածենք քառակուսի հավասարման։ Պետք է x-ը ընդհանուր հանենք, որպեսզի ստանանք քառակուսի հավասարումը։ Հետո պարզապես դիսկրիմինանտով պետք է հաշվենք ստացված արդյունքը։

x*(x²+5x-6)=0=> [ x=0; x²+5x-6=0 (1)

x²+5x-6=0

D=25-(-24)=49

[ x= -5-7/2=> -12/2= -6; x= -5+7/2=2/2= 1

(1)=> [ x= -6; x=1; x=0

Պատ՝․ -6; 0; 1

բ) Նշանակում է, որ մեր հավասարումը վերածվեց երկու արտահայտության, այսինքն մենք սկզբից ունեինք հաստատուն արտահայտություն, բայց քանի որ x-ը կարողացանք ընդհանուր հանել, այդ իսկ պատճառով այն վերածվեց երկու արտահայտության՝ արտադրյալով։

Վարժ․ 223

ա) ab=0 այն դեպքում, եթե արժեքներից գոնե մեկը հավասար լինի 0-ի, կամ էլ երկու արժեքներն էլ համապատասխան լինեն 0:

բ) Ճիշտ չէ, քանի որ ոչ միայն а արժեքը կարող է ունենալ 0 արժեք։ Նույն կերպ b արժեքն էլ կարող է ունենալ զրոյական արժեք։

գ) Ոչ, քանի որ երկուսի պատասխանները իրար չեն համապատասխանում։

դ) Այո, հավասարման արմատ է, քանի որ վերջում պատասխանը 0- է լինելու։

Վարժ․ 224

ա) (x-1)(x-2)=0=> [ x-1=0; x-2=0=> [ x=1; x=2

Պատ՝․ 1; 2

բ) (x-3)(x+4)=0=> [ x-3=0; x+4=0=> [ x=3; x= -4

Պատ՝․ 3; -4

գ) (x-7)²=0=> [ x-7=0=> x=7

Պատ՝․ 7

դ) (x+4)(x-6)=0=> [ x+4=0; x-6=0=> [ x= -4; x=6

Պատ՝․ -4; 6

ե) x(x-2)=0=> [ x=0; x-2=0=> [ x=0; x=2

Պատ՝․ 0; 2

զ) (x+3)x=0=> [ x+3=0; x=0=> [ x= -3; x=0

Պատ՝․ 0; -3

է) 3x²=0=> x²=0=> x=0

Պատ՝․ 0

ը) -x²(3+x)=0=> [ -x²=0; 3+x=0=> [ -x²=0; x= -3=> [ x=0; x= -3

Պատ՝․ 0; -3

Վարժ․ 225

ա) 2x²-3x=0

x*(2x-3)=0=> [ x=0; 2x-3=0=> [ x=0; x= 1.5

Պատ՝․ 0; 1.5

բ) 7x²+5x=0

x*(7x+5)=0=> [ x=0; 7x+5=0=> [ x=0; x= -5/7

Պատ՝․ 0; -5/7

գ) x³-x=0

x*(x²-1)=0=> [ x=0; x²-1=0=> [ x=0; x=1; x= -1

Պատ՝․ 0; 1; -1

դ) x²+x³=0

x²*(1+x)=0=> [ x²=0; 1+x=0=> [ x=0; x= -1

Պատ՝․ 0; -1

ե) 1-x³=0

1-x³=0=> -x³= -1=> x³= -1=> x=1

Պատ՝․ 1

զ) 1+x³=0

1+x³=0=> 1=x³=> x= -1

Պատ՝․ -1

է) x³-8=0=> x³=8=> x=2

Պատ՝․ 2

ը) 125-x³=0=> 125=x³=> x²=25=> x=5

Պատ՝․ 5

Վարժ․ 226

ա) x³+5x²+6x=0

x*(x²+5x+6)=0=> [ x=0; x²+5x+6=0 (1)

x²+5x+6=0

D=25-24=1

[ x= -5-1/2; x= -5+1/2=> [ x= -6/2; x= -4/2=> [ x= -3; x= -2

(1)=> [ x=0; x= -3; x= -2

Պատ՝․ 0; -3; -2

բ) x³-4x²+3x=0

x*(x²-4x+3)=0=> [ x=0; x²-4x+3=0 (1)

x²-4x+3=0

D=16-12=4

[ x=4-2/2; x=4+2/2=> [ x=2/2; x=6/2=> [ x=1; x=3

(1)=> [ x=0; x=1; x=3

Պատ՝․ 0; 3; 1

գ) x⁴=2x³+3x²

x⁴-2x³-3x²=0

x²*(x²-2x-3)=0=> [ x²=0; x²-2x-3=0=> [ x=0; x²-2x-3=0 (1)

x²-2x-3=0

D=4-(-12)=16

[ x=2-4/2; x=2+4/2=> [ x= -2/2; x=6/2=> [ x= -1; x=3

(1)=> [ x=0; x= 3; x= -1

Պատ՝․ 0; 3; -1

դ) 10x²=x⁴+3x³

x⁴+3x³-10x²=0

x²*(x²+3x-10)=0=> [ x²=0; x²+3x-10=0=> [ x=0; x²+3x-10=0 (1)

x²+3x-10=0

D=9-(-40)=49

[ x= -3-7/2; x= -3+7/2=> [ x= -10/2; x=4/2=> [ x= -5; x=2

(1)=> [ x=0; x= -5; x=2

Պատ՝․ 0; -5; 2

ե) x³-4x²=x

x³-4x²-x=0

x*(x²-4x-1)=0=> [ x=0; x²-4x-1=0 (1)

x²-4x-1=0

D=16-(-4)=20

[ x=4-√20/2; x=4+√20/2=> [ x=4-2√5/2; x=4+2√5/2=> [ x=2-√5; x=2+√5

(1)=> [ x=0; x=2-√5; x=2+√5

Պատ՝․ 0; 2+√5; 2-√5

զ) x³+x=2x²

x³-2x²+x=0

x*(x²-2x+1)=0=> [ x=0; x²-2x+1=0 (1)

x²-2x+1=0

D=4-4=0

x=2/2=1

(1)=> [ x=0; x=1

Պատ՝․ 0; 1

է) x⁵+x³=x⁴

x⁵-x⁴+x³=0

x³*(x²-x+1)=0=> [ x³=0; x²-x+1=0=> [ x=0; x²-x+1=0 (1)

x2-x+1=0

D=1-4= -3 (Ø)

Պատ՝․ Ø

ը) (x-3)²x=0=> [ x-3=0; x=0=> x=3; x=0

Պատ՝․ 0; 3

Վարժ․ 227

ա) (3x+3)(2x+5)=0=> [ 3x+3=0; 2x+5=0=> [ 3x= -3; 2x= -5=> [ x= -1; x= -2.5

Պատ՝․ -1, -2.5

բ) (3x-7)(4-3x)=0=> [ 3x-7=0; 4-3x=0=> [ 3x=7; 4=3x=> [ x=7/3; x=4/3

Պատ՝․ 7/3, 4/3

գ) (5-x)(3x+2)=0=> [ 5-x=0; 3x+2=0=> [ x=5; x= -2/3

Պատ՝․ 5, -2/3

դ) (7-x)(6-9x)=0=> [ 7-x=0; 6-9x=0=> [ x=7; 9x=6=> [ x=7; x=6/9=2/3

Պատ՝․ 7, 2/3

ե) (2x-3)(x²+3x+2)=0=> [ 2x-3=0; x²+3x+2=0=> [ 2x=3; x²+3x+2=0=> [ x=1.5; x=x²+3x+2=0 (1)

x²+3x+2=0

D=9-8=1

[ x= -3-1/2; x= -3+1/2=> [ x= -4/2; x= -2/2=> [ x= -2; x= -1

(1)=> [ x=1.5; x= -2; x= -1

Պատ՝․ 1.5; -2; -1

զ) (x²-5x+6)(3x-2)=0=> [ x²-5x+6=0; 3x-2=0=> [ x²-5x+6=0; 3x=2=> [ x²-5x+6=0; x=2/3 (1)

x²-5x+6=0

D=25-24=1

[ x= 5-1/2; x=5+1/2=> [ x=4/2; x=6/2=> [ x=2; x=3

(1)=> [ x=2/3; x=2; x=3

Պատ՝․ 2/3; 2; 3

է) (x²+1)(x²+5x+6)=0=> [ x²+1=0 (Ø); x²+5x+6=0=> [ x²+5x+6=0 (1)

x²+5x+6=0

D=25-24=1

[ x= -5-1/2; x= -5+1/2=> [ x= -6/2; x= -4/2=> [ x= -3; x= -2

(1)=> [ x= -3; x= -2

Պատ՝․ -3; -2

ը) (x²-1)(x²-5x+6)=0=> [ x²-1=0; x²-5x+6=0=> [ x²=1; x²-5x+6=0=> [ x=1; x= -1; x²-5x+6=0 (1)

x²-5x+6=0

D=25-24=1

[ x=5-1/2; x=5+1/2=> [ x=4/2; x=6/2=> [ x=2; x=3

(1)=> [ x=1; x= -1; x=2; x=3

Պատ՝․ ±1; 2; 3

թ) (x²+2x+1)(x²-5x+7)=0=> [ x²+2x+1=0; x²-5x+7=0 (1)

x²+2x+1=0

D=4-4

x= -2/2= -1

x²-5x-7=0

D=25-28= -3 (Ø)

(1)=> x= -1

Պատ՝․ -1

ժ) (x²-3x+1)(x²-4x+4)=0=> [ x²-3x+1=0; x²-4x+4=0 (1)

x²-3x+1=0

D=9-4=5

[ x=3-√5/2; x=3+√5/2

x²-4x+4=0

D=16-16=0

x=4/2=2

(1)=> [ x=3-√5/2; x=3+√5/2; x=2

Պատ՝․ 3-√5/2; 3+√5/2; 2

ի) (x²-3x+1)(x²+4x-3)=0=> [ x²-3x+1=0; x²+4x-3=0 (1)

x2-3x+1=0

D=9-4=5

[ x=3-√5/2; x=3+√5/2

x2+4x-3=0

D=16-(-12)=28

[ x= -4-√28/2; x= -4+√28/2

(1)=> [ x=3-√5/2; x=3+√5/2; x= -4-√28/2; x= -4+√28/2

Պատ՝․ 3-√5/2; 3+√5/2; -4-√28/2; -4+√28/2

լ) (x²-5x+1)(x²-x+6)=0=> [ x²-5x+1=0; x²-x+6=0 (1)

x²-5x+1=0

D=25-4=21

[ x=5-√21/2; x=5+√21/2

x²-x+6=0

D=1-24= -23 (Ø)

(1)=> x=5-√21/2; x=5+√21/2

Պատ՝․ 5-√21/2; 5+√21

խ) (x²+1)(x²-2x+7)=0=> [ x²+1=0; x²-2x+7=0=> [ x²= -1 (Ø); x²-2x+7=0 (1)

x²-2x+7=0

D=4-28= -24 (Ø)

Պատ՝․ (Ø)

ծ) (x²-3)(x²-4x+4)=0=> [ x²-3=0; x²-4x+4=0=> [ x²=3; x²-4x+4=0=> [ x=√3; x= -√3; x²-4x+4=0 (1)

x²-4x+4=0

D=16-16=0

x=4/2=2

(1)=> [ x=√3; x= -√3; x=2

Պատ՝․ ±√3; 2