Համակարգերի լուծում

Դասարանական և լրացուցիչ աշխատանք՝ 277, 278, 283

Վարժ․ 277

ա) { x²=y → { x²=4 → { x=2, -2

{ y-2=2 → { y=2+2=4 → { y=4

Պատ՝․ (2, 4); (-2, 4)

բ) { y²-1=x → { y²=24+1 → { y=5, -5

{ x-13=11 → { x=11+13=24 → { x=24

Պատ՝․ (24, 5); (24, -5)

գ) { x-3=2 → { x=2+3=5 → { x=5

{ y²-x=4 → { y²=4+5 → { y=3, -3

Պատ՝․ (5, 3); (5, -3)

դ) { x²-y-4=0 → { x²=9 → { x=3, -3

{ y-4=1 → { y=1+4=5 → { y=5

Պատ՝․ (3, 5); (-3, 5)

ե) { x=2+y → { x=2+y → { x=2+y → { x=2+y

{ x²-y=8 → { (y+2)²-y=8 → { 4+4y+y²-y-8=0 → { y²+3y-4=0 (1)

y²+3y-4=0

D=9-(-16)=25

[ y₁= -3-5/2= -8/2= -4

[ y₂= -3+5/2=2/2=1

(1)→ { x=2+y, y₁= -4, y₂=1 → { [ x₁=2+y₁→ 2+(-4)= -2, { [ x₂=2+y₂→ 2+1=3

Պատ՝․ (-2, -4); (3, 1)

զ) { x²=y → { x²=y

{ 5x-y=6 → { 5x-x²-6=0 (1)

-x²+5x-6=0

D=25-24=1

[ x₁= -5-1/(-2)= -6/(-2)=3

[ x₂= -5+1/(-2)= -4/(-2)=2

(1)→ { x²=y, x₁=3, x₂=2 → { [ x₁²=y₁→ 9, { [ x₂²=y₂→ 4

Պատ՝․ (3, 9); (2, 4)

է) { x=y-2 → { x=y-2 → { x=y-2

{ xy=3 → { (y-2)*y=3 → { y²-2y-3=0 (1)

y²-2y-3=0

D=4-(-12)=16

[ y₁=2-4/2= -2/2= -1

[ y₂=2+4/2=6/2=3

(1)→ { x=y-2, y₁= -1, y₂=3→ { [ x₁=y₁-2→ -1-2= -3, { [ x₂=y₂-2→ 3-2=1

Պատ՝․ (-3, -1); (1, 3)

ը) { y=x-8 → { y=x-8 → { y=x-8

{ xy= -7 → { x*(x-8)+7=0 → { x²-8x+7=0 (1)

x²-8x+7=0

D=64-28=36

[ x₁=8-6/2=2/2=1

[ x₂=8+6/2=14/2=7

(1)→ { y=x-8, x₁=1, x₂=7 → { [ y₁=x₁-8→ -7, { [ y₂=x₂-8→ -1

Պատ՝․ (1, -7), (7, -1)

թ) { x²+y²=17 → { y²+1=17 → { y²=16 → { y₁=4, y₂= -4 → { [ y₁=4, x₁=1, { [ y₂= -4, x₂=1

{ x+2=3 → { x=1 → { x=1 → { x=1

Պատ՝․ (1, 4); (1, -4)

Վարժ․ 278

ա) { x+y=3 → { x=3-y → { x=3-y

{ xy= -40 → { (3-y)*y+40=0 → { -y²+3y+40=0 (1)

-y²+3y+40=0

D=9-(-160)=169

[ y₁= -3-13/(-2)= -16/(-2)=8

[ y₂= -3+13/(-2)=10/(-2)= -5

(1)→ { x=3-y, { y₁=8, { y₂= -5 → { x₁= -5, { x₂=8

Պատ՝․ (-5, 8); (8, -5)

բ) { x+y=7 → { x=7-y → { x=7-y

{ xy=12 → { (7-y)*y-12=0 → { -y²+7y-12=0 (1)

-y²+7y-12=0

D=49-48=1

[ y₁= -7-1/(-2)= -8(-2)=4

[ y₂= -7+1/(-2)= -6/(-2)=3

(1)→ { x=7-y, { y₁=4, y₂=3 → { x₁=3, x₂=4

Պատ՝․ (3, 4); (4, 3)

գ) { x+y=3 → { x=3-y

{ xy= -28 → { (3-y)*y= -28

(3-y)*y= -28 → { x=3-y, [ y₁= -4, y₂=7 → { [ x₁=7, y₁= -4, [ x₂= -4, y₂=7

Պատ՝․ (7, -4); ( -4, 7)

դ) { x+y= -8 → { x= -8-y

{ xy=15 → { (-8-y)*y=15

(-8-y)*y=15 → { x= -8-y, [ y₁= -5, y₂= -3 → { [ x₁= -3, y₁= -5, [ x₂= -5, y₂= -3

Պատ՝․ (-3, -5); ( -5, -3)

ե) { xy= -15 → { (-8+y)*y= -15

{ x-y= -8 → { x= -8+y

(-8+y)*y= -15 → { x= -8+y, [ y₁=3, y₂=5 → { [ x₁= -5, y₁=3, [ x₂= -3, y₂=5

Պատ՝․ (-5, 3); (-3, 5)

զ) { xy=8 → { (y+2)*y=8

{ x-y=2 → { x=2+y

(y+2)*y=8 → { x=2+y, [ y₁= -4, y₂=2 → { [ x₁= -2, y₁= -4, [ x₂=4, y₂=2

Պատ՝․ (-2, -4); (4, 2)

է) { x+2y=4 → { x=4-2y → { x=4-2y → { x=4-2y → { x=4-2y

{ x²+y=16 → { (4-2y)²+y=16 → { 16-16y+4y²+y-16=0 → { 4y²-15y=0 → { [ y₁=15/4, y₂=0 → { [ x₁= -7/2, y₁=15/4, [ x₂=4, y₂=0

Պատ՝․ (-7/2, 15/4); (4, 0)

ը) { 3x+y=1 → { y=1-3x → { y=1-3x → { y=1-3x

{ x+y2=1 → { x+(1-3x)²-1=0 → { x+1-6x+9x²-1=0 → { 9x²-5x=0 → { y=1-3x, [ x₁=5/9, x₂=0 → { [ x₁=5/9, y₁= -2/3, [ x₂=0, y₂=1

Պատ՝․ (5/9, -2/3), (0, 1)

թ) { x+2y=3 → { x=3-2y

{ 3x-y²=17 → { 3*(3-2y)-y²=17 → { x=3-2y, [ y₁= -4, y₂= -2 → { [ x₁=11, y₁= -4, [ x₂=7, y₂= -2

Պատ՝․ (11, -4); (7, -2)

Վարժ․ 283

ա) { x+y+z=6 → { x+y+1=6 → { x=6-2-1 → { x=3

{ y+z=3 → { y=3-1 → { y=2 → { y=2

{ z=1 → { z=1 → { z=1 → { z=1

Պատ՝․ (3, 2, 1)

բ) { x+y+z=0 → { x+y+z=0 → { y= -3+1 → { y= -2

{ x+z=2 → { z=2+1 → { z=3 → { z=3

{ x= -1 → { x= -1 → { x= -1 → { x= -1

Պատ՝․ (-1, -2, 3)

գ) { x+y+z=2 → { x+3-x+1-x-2=0 → { -x+2=0 → { -x= -2 (x=2)

{ x+z=1 → { z=1-x → { z=1-x → { z= -1

{ x+y=3 → { y=3-x → { y=3-x → { y=1

Պատ՝․ (2, 1, -1)

դ) { x+y+z=2 → { 1-y+y+3-y-2=0 → { -y+2=0 → { y=2

{ y+z=3 → { z=3-y → { z=3-y → { z=1

{ x+y=1 → { x=1-y → { x=1-y → { x= -1

Պատ՝․ (-1, 2, 1)

ե) { x-y= -1 → { 3/z-(5-z)+1=0 → { 3/z-4+z=0 → { 3-4z+z²/z (1)

{ y+z=5 → { y=5-z → { y=5-z → { y=5-z

{ xz=3 → { x=3/z → { x=3/z → { x=3/z

z²-4z+3=0

D=16-12=4

[ z₁=4-2/2=2/2=1

[ z₂=4+2/2=6/2=3

(1)→ { y+z=5, { xz=3, { z₁=1, { z₂=3 → { y₁=4, { x₁=3, { y₂=2, { x₂=1

Պատ՝․ (3, 4, 1); (1, 2, 3)

զ) { x²+y²+z²=35 → { x²+(2-x)²+(4-x)²=35 → { x²+4-4x+x²+16-8x+x²-35=0 → { 3x²-12x-15=0 (1)

{ x+y=2 → { y=2-x → { y=2-x → { y=2-x

{ x-z=4 → { -z=4-x → { -z=4-x → { -z=4-x

3x²-12x-15=0

x²-4x-5=0

D=16-(-20)=36

[ x₁=4-6/2= -2/2= -1

[ x₂=4+6/2=10/2=5

(1)→ { y=2-x, { -z=4-x, { x₁= -1, { x₂=5→ { [ y₁=3, y₂= -3, { [ z₁= -5, z₂=1

Պատ՝․ (-1. 3, -5); (5, -3, 1)