1. Շրջանագծի վրա նշել են 7 կետ, որոնցից երկուսը ներկել են կարմիր, երկուսը` կապույտ, իսկ երեքը` կանաչ: Գտեք այն եռանկյունների քանակը, որոնց գագաթները այդ կետերից են և զույգ առ զույգ ներկված են տարբեր գույներով:

Եթե, ըստ խնդրի պահանջը՝ մենք ունենք 3 կանաչ, 2-ական կարմիր ու կապույտ կետեր, ապա գծագիրը պետք է ստացվի մոտավորապես այսպես։

Նախնական հաշվարկներով, եռանկյունիների թիվը ստացվում է 12:

Պատ՝․ 12

2.  Տրված են իրարից տարբեր a,b,c բնական թվեր։ Պարզել՝ a, b, c, a+b, a+c, b+c վեց թվերից առավելագույնը քանի՞սը կարող են լինել պարզ թվեր:

Որպես օրինակ, դիտարկենք հետևյալ դեպքը․ a=2, b=3, c=4

a+b=2+3=5

b+c=3+4=7

a+c=2+4=6

(երկու պարզ, մեկ՝ բաղադրյալ պատասխան)

Որպես երկրորդ օրինակ, դիտարկենք հետևյալ դեպքը․ a=3, b=4, a=6

a+b=3+4=7

a+c=3+6=9

b+c=4+6=10

(մեկ պարզ, երկու՝ բաղադրյալ պատասխան)

Որպես երրորդ օրինակ, դիտարկենք հետևյալ դեպքը․ a=4, b=6, c=8

a+b=4+6=10

b+c=6+8=14

a+c=4+8=12

(երեքն էլ բաղադրյալ պատասխաններ են)

Եվ որպես չորրորդ օրինակ, դիտարկենք հետևյալ պահը․ a=2, b=3, c=5

a+b=2+3=5

b+c=3+5=8

a+c=2+5=7

(երկու պարզ, մեկ՝ բաղադրյալ պատասխան)։

Այսքանից կարող ենք եզրակացնել, որ չորս դեպքերի ժամանակ առաջին և չորրորդ օրինակներում պատասխանների հաջորդականությունը համապատասխանեց (առաջինում՝ երկու պարզ, մեկ բաղադրյալ, չորրորդում՝ երեքն էլ պարզ են)։ Իմ կարծիքով, այստեղից կարող ենք եզրակացնել սա։

a=պարզ, b=պարզ, c=բաղադրյալ, a+b=պարզ, b+c=պարզ, a+c=բաղադրյալ (սակայն սա առավելագույնը, քանի որ մենք առաջինում երկուսն են բաղադրյալ, չորրորդում՝ երեքը։)

Պատ՝․ 4

3. Քանի՞ եղանակով 1,2,3,․․․,15,16 բնական թվերից կարելի է ընտրել երեք թիվ այնպես, որ ընտրված թվերի արտադրյալը բաժանվի 100-ի։

Դիտարկենք բոլոր դեպքերը․

2*5*10=100

4. Բնական թիվը կանվանենք «հետաքրքիր», եթե նրա երեք փոքրագույն բաժանարարների գումարը հավասար է 8։ Գտեք «հետաքրքիր» երկնիշ թվերի քանակը։

Երեք փոքրագույն բաժանարարներ կարող են լինել 1, 3, 5 (1, 2, 3, … չի ստացվի, քանի որ եթե թիվը բաժանվում է չորսի, ապա կբաժանվի նաև երկուսի և այլն)։

1, 3, 5 բաժանարարներ ունեցող թվերն են․ 15, 30, 45, 60, 75, 90

Պատ՝․ 6

5. 16, 25 և a թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հավասար է 1200։ Գտեք այդպիսի a բնական թվերի քանակը։

16, 25, 75 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բաժանարարը 1200-ն է։

Քանի որ 16-ի և 25-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ 400 է, ուստի երրորդ (a) թվի արժեքը պետք է համապատասխանեցնել, որպեսզի 400-ը չլինի երեք թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ։ Եթե վերցնենք 30-ը, կլինի, իսկ եթե 40-ը՝ ոչ, քանի որ 400/40։ Ուստի այդպիսի թվերն են 6, 30, 60, 120, 1200: նախնական հաշվարկներով այդպիսի թվերի քանակը կազմում է 5:

Պատ՝․ 5

6. Ռետինե գնդակն ընկնում է 10 մետր բարձրությամբ տան տանիքից: Գետնին բախվելուց հետո նա յուրաքանչյուր անգամ բարձրանում է իր նախորդ բարձրության 4/5-ի չափով: Քանի՞ անգամ գնդակը կհայտնվի գետնի մակերևույթից 6 մետր բարձրությունից վեր։

10*4/5=8

8*4/5=6.4

Պատ՝․ երկու անգամ

7. Իրարից տարբեր երեք բնական թվերի գումարը հավասար է 186-ի։ Այդ թվերից յուրաքանչյուր երկուսի գումարը բաժանվում է երրորդի վրա։ Գտեք այդ թվերից մեծագույնը։

8. Ա և  Բ վայրերի միջև եղած հեռավորությունը 2կմ է։ Այդ վայրերից միաժամանակ իրար ընդառաջ շարժվեցին երկու ընկեր։ Ընկերները շարժվում էին նույն՝ 2կմ/ժ հաստատուն արագությամբ։ Ա վայրից շարժվողի մոտից շունն էլ սկսեց վազել դեպի Բ։ Հասնելով Բ վայրից շարժված ընկերոջը, շունը անմիջապես շրջվեց և վազեց դեպի Ա։ Հասնելով Ա վայրից շարժված ընկերոջը նորից շրջվեց և վազեց դեպի Բ։ Ամեն անգամ հանդիպելով ընկերներից մեկին, շունը շրջվում էր և վազում դեպի մյուսը։ Քանի՞ կիլոմետր վազեց շունը մինչև ընկերների հանդիպումը։ Շունը վազում էր 4կմ/ժ հաստատուն արագությամբ։

Առաջարկում եմ խնդիրը դիտարկել այլ տեսանկյունից։ Ըստ տրամաբանության՝ շան արագության ամեն հանդիպումից հետո քչանում էր ինչ-որ չափ տոկոսով կամ մասով։ Այսինքն, մինչև շունն վազում էր դեպի մյուս ընկեր, նախորդը անցնում էր ինչ-որ ժամանակահատված։ Ավելի պատկերելի։

A —————————————————————————————————> B (2 կմ)

Շունը վազեց և հասավ այնտեղ 30ր-ում։ Մինչև ինքը վերադարձավ, նախորդն 15ր-ում (շան 30ր-ն էկվիվալենտ է մարդկանց 15 րոպեին) անցել էր արդեն 0.6 կմ, հետևաբար B-կետից շարժվողն էլ էր այդքան անցնելու։ Երկու մարդկանց միջև հեռավորությունը դարձավ 2-2*0.6=0.8 կմ, այսինքն 800 մետր։ Իսկ այստեղ շունը վազեց մոտ 15 րոպե (1 կմ) և հասավ B-ին։ Մինչև նա հասնում էր այդ 15 րոպեյվա ընթացքում նախորդն 7.5 (15/2) րոպեյում անցավ 0.6/2=0.3 կմ, այսինքն նրանց հանդիպելու համար հարկավոր էր 500 մետր։ Շան արագությունըչփոխվեց, սակայն րոպեներն հանդիպելու քչացան։ Մնաց 500 մետր։ Շունը այդ 500 մետրը վազեց և այնտեղ հասավ մոտավորապես 4 րոպեյում, իսկ այստեղից արդեն կարող են եզրակացնել, որ հաջորդ վազքից ու վերադարձից հետո մարդիկ կհանդիպեն։ Եթե խոսենք ավելի հասկանալի, ուստի շունը վազել էր այսպիսի հերթականությամբ՝ 2, 1, 0.5, 0.25 և այլն։ Նախնական հաշվարկներով շունը վազել է 4 կմ։

Պատ՝․ մոտավորապես 4 կմ։

9. Առաջին ամանում կար 20%-անոց սպիրտի լուծույթ, իսկ երկրորդ ամանում՝ 40%-անոց։ Երբ երկու ամանների լուծույթները խառնեցին ստացվեց 25%-անոց սպիրտի լուծույթ։ Երկու ամաններից մեկում եղած լուծույթը շատ էր մյուսում եղած լուծույթից։  Ո՞ր լուծույթից են ավելի շատ խառնել և քանի՞ անգամ։

10. Օդանավակայանում կա հորիզոնական շարժասանդուղք, որի երկարությունը 500 մետր է և որը շարժվում է 4 կմ/ ժ արագությամբ։ Անուշն ու Դավիթը միասին կանգնում են շարժասանդուղքին։ Անուշը քայլում է շարժասանդուղքի նկատմամբ  6կմ/ժ արագությամբ, իսկ Դավիթը չի քայլում։ Շարժասանդուղքից Անուշի իջնելու պահին որքա՞ն էր նրա հեռավորությունը Դավիթից։

Դավիթը 500 մետրը կհաղթահարի շարժասանդուղքի հետ հավասար:

Շարժասանդուղքը շարժվում է 4կմ/ժ արագությամբ, անցնում է 500 մ, ուստի, սրանից հետևում է, որ 1 կմ-ը կանցնի 15 րոպեյում, իսկ 500 մ-ը 7.5 րոպեյում։ Եթե Անուշը շարժվում է 6կմ/ժ արագությամբ հավելյալ, ապա նա շատ կեռվանա։ Այն ժամանակ, երբ Դավիթը կանցնի երկարության 1/5 մասը, այսինքն 100 մետրը, հավանաբար Անուշը արդեն իջած կլինի։