Իռացիոնալ թվեր / Պարապմունք 9

Պարապմունք 9 / 18.10.2023թ․

Ցանկացած ռացիոնալ թիվը ներկայացվում է անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակների տեսքով, օրինակ՝ 3=3,(0); 7=7,(0)։ Սակայն կան թվեր, որոնք չունեն անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակների տեսք, նրանք անավարտ են՝ անվերջ, ներկայանում են անվերջ ոչ պարբերական կոտորակի տեսքով և կոչվում են իռացիոնալ թիվ:

Առաջադրանքներ 28, 29, 30, 38, 40, 41, 42, 43

Առաջադրանք 28

Դիտարկենք տարբեր թվեր․ 2, 4, 6, 8, 10, 12։ Ինչպես տեսնում ենք, բոլորն էլ զույգ են, այսինքն՝ բաժանվում են 2-ի։ Հաջորդական զույգ թվերից մեկը կարող է բաժանվել 4-ի, եթե այն վերջինիս պատիկն է։ Ներկայացված բոլոր թվերը բաժանվում են 2-ի, սակայն 4, 8, 12-ն են բաժանվում 4-ի։ Մյուս բոլոր բաժանման դեպքում մենք ստանալու ենք նմանատիպ պատկեր՝

• 6/4=1. 1/2
• 10/4=2. 2/4=> 2. 1/2

Այսինքն բոլոր ոչ ամբողջությամբ բաժանվող թվերի դեպքում ստանալու ենք մնացորդ՝ 4-ի 1/2-ի տեսքով։ Մյուս ապացույց այն է, որ բոլոր զույգ թվերը բաժանվում են 2-ի, սակայն ոչ 4-ի, իսկ քանի որ 4-ը երկու անգամ մեծ է, ուստի ամբողջությամբ բաժանվող թվերի քանակը կլինի երկու անգամ քիչ։

Երկրորդ տարբերակ՝

a=2k; a+2=2k+2

k-ն եթե կենտ է կբաժանվի միայն հաջորդ զույգ թիվը։ Եթե վերցնում ենք կենտ թվերը, ապա կբաժանվի միայն մեկ թվի։ Միաժամանակ չեն կարող բաժանվել, եթե նրանցից մեկը բաժանվում է այդ դեպքում, մյուսը չի բաժանվում։ Եթե k-ն զույգ է մեկը չի բաժանվելու, մյուսը բաժանվելու է, իսկ եթե k-ն կենտ է, ուստի չեն բաժանվի։

Առաջադրանք 29

Այս դեպքում ևս դիտարկենք թվերով, վերցնենք 2, 3, 4, 5, 6, 7 թվերը, որպեսզի կարողանանք երկու օրինակով տարբերել։ 2+3+4=9 (բաժանվում է երեքի), 2*3*4=24 (բաժանվում է 6-ի)։ Հիմա երեք հաջորդական բնական թվերը նշանակենք այսպես․ n, n+1, n+2: Ամեն երրորդ թիվը բաժանվում է երեքի։

Ինչ վերաբերվում է 3-ի բաժանվելուն, ապա պետք է նշել, որ թիվը կամ բաժանվում է անմնացորդ, կամ էլ ունենում է 1 կամ 2 մնացորդ: Այսպիսով, եթե n-ը բաժանվում է 3-ի, խնդիրը լուծված է: Եթե չի բաժանվում, ապա տալիս է 1 մնացորդ կամ 2։ Մեկ մնացորդի դեպքում n+2-ը կբաժանվի 3-ի, իսկ 2 մնացորդի դեպքում՝ n+1-ը:

Երկրորդ տարբերակ՝ /գումարը բաժանվում է երեքի/

a, a+1, a+2

a=3k, a+1=3k+1, a+2=3k+2

9k+3 (9k-ն ու 3-ը կբաժանվեն)։

/Արտադրյալը բաժանվում է վեցի/

Իրար հաջորդող թվեր 1, 2, 3 — քանի որ ամեն երրորդ թիվ բաժանվում է երեքի, իսկ երկրորդ թիվը զույգ է, ուստի բաժանվում է և՛ երեքի, և՛ երկուսի։

Առաջադրանք 30

Դիտարկենք թվով․ n=5, հետևաբար n³-n=125-5=120 (բաժանվում է 6-ի)։ Մեկ այլ թիվ․ n=6, հետևաբար n³-n=216-6=210 (բաժանվում է 6-ի)։ Հետևաբար՝

n³-n=6

a²-b²=(a-b)(a+b) բանաձևի օգնությամբ հաշվենք։

n*(n³-1)=n*(n-1)*(n+1), իսկ սրա ապացույցը արեցինք վերևում, քանի որ ամեն երրորդ թիվը բաժանվում է երեքի, իսկ նրանցից մեկը անպայման պետք է լինի զույգ, ուստի բաժանվում է վեցի։

Առաջադրանք 38

ա) (√2)¹⁵ & (√2)⁹ => 181.02 > 22.63

բ) (1.5)^-12 & (1.5)^-29 => 1/1.5¹² & 1/1.5²⁹ => 1/1.5¹² > 1/1.5²⁹

գ) (4/π)³ & 1 => (4/3.14)³ & 1 => 2.06 > 1

դ) (2/3)⁴ & (2/3)⁸ => 0.2 > 0.039

ե) (√15/4)⁷ & (√15/4)³ => 0.7975 < 0.9076

զ) (3/π)⁹ & 1 => 0.66011 < 1

Առաջադրանք 40

[√15, √35] — այս երկու թվերի արանքում պետք է վերցնենք 13 համարիչով կոտորակ՝ 13/x

[√15] — պատկանում է (3, 4) միջակայքին

[√35] — պատկանում է (5, 6) միջակայքին

Հերթով փորձում ենք թվերը 13/3=4…., այսինքն սա միջակայքում լինում է։

Հիմա՝ 13/4=3…, սա ևս 3-ից մեծ է, 5-ից փոքր։

Առաջադրանք 41

[√82, √91] — այս երկու թվերի արանքում պետք է վերցնենք 15 հայտարարով կոտորակ՝ x/15

[√82] — պատկանում է (9, 10) միջակայքին

[√91] — պատկանում է (9, 10) միջակայքին

Ուստի 136/15

Առաջադրանք 42

Որպես օրինակ վերցնենք 35 թիվը, որը 6-ի բաժանելիս, ստացվում է 5 մնացորդ։

ա) 35/2=17. 1/2 (կմնա 1 մնացորդ)

բ) 35/3=11. 2/3 (կմնա 2 մնացորդ)

գ) 35/12=2. 11/12 (կմնա 11 մնացորդ)

Առաջադրանք 43

Դիտարկենք օրինակներով․ առաջին թիվը վերցնենք 19 (19/7=2. 5/7), երկրորդը՝ 18 (18/7=2. 4/7):

ա) գումարենք թվերը 19+18=37, 37/7=5. 2/7 (2 մնացորդ)

բ) բազմապատկենք թվերը 19*18=342, 342/7=48. 6/7 (6 մնացորդ)