«Ես եմ իմ ուսուցիչը» նախագիծ․ Եռանկյունը, նրա տեսակներն ու հատկությունները

Մի ուղղի վրա չգտնվող երեք կետերից և այդ կետերը զույգ առ զույգ միացնող հատվածներից կազմված պատկերը կոչվում է եռանկյուն։ Այդ կետերը կոչվում են եռանկյան գագաթներ, իսկ հատվածները՝ եռանկյան կողմեր:

*A, B, C — գագաթներ; AB, BC, AC — կողմեր*

Եռանկյան յուրաքանչյուր կողմ փոքր է մյուս երկու կողմերի գումարից․ AB < BC+AC; BC < AB+AC; AC=AB+BC

Եռանկյան անկյունների գումարը հավասար է 180⁰:

1. Եռանկյան պարագիծ

Եռանկյան պարագիծը նշանակում ենք P տառով, և այն հավասար է բոլոր կողմերի գումարին (P=AB+BC+CB): Պարագիծը երկարությունների գումարն է։

2. Եռանկյան մակերես

1. Եռանկյան մակերեսը հավասար է հիմքի և բարձրության արտադրյալի կեսին. S=1/2ah

2. Եռանկյան մակերեսը հավասար է երկու կողմերի և նրանցով կազմած անկյան սինուսի արտադրյալի կեսին. S=1/2cb*sin α

3. Եռանկյան մակերեսը հավասար է նրա կիսապարագծի և ներգծած շրջանագծի շառավղի արտադրյալին․ S=p*r (p=a+b+c/2)

4. Եռանկյան մակերեսը հավասար է կողմերի արտադրյալի և նրան արտագծած շրջանագծի շառավղի քառապատիկի հարաբերությանը. S=abc/4R

5. Եռանկյան մակերեսը կարելի է հաշվել նաև Հերոնի բանաձևով․ S=√p(p−a)(p−b)(p−c)

* Նման եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը հավասար է նմանության գործակցի քառակուսուն:

3. Եռանկյան կիսորդ

Գագաթից տարված հատվածը, որն անկյունը կիսելով, միանում է հանդիպակաց կողմի կետին կոչվում է եռանկյան կիսորդ։

Եռանկյան կիսորդը դիմացի կողմը (հատվածը) բաժանում է կից կողմերին համեմատական մասերի:

Եռանկյան կիսորդները հատվում են մի կետում:

Եռանկյան կիսորդների հատման կետը եռանկյանը ներգծած շրջանագծի կենտրոնն է:

Եռանկյան կիսորդի երկարությունը հավասար է․ l²=bc-BD*DC

Եռանկյան կիսորդի երկարությունը հավասար է. l=2bc*cos γ/b+c

5. Եռանկյան բարձրություն

Եռանկյան բարձրություն է կոչվում գագաթից հանդիպակաց կողմն ընդգկրող ուղղին տարված ուղղահայացը։

ΔABC-ում բարձրությունը BD հատվածն է։ ΔHEG-ում բարձրությունը EH հատվածն է։ Ուղղանկյան եռանկյան մեջ բարձրությունը IJ հատվածն (կողմ) է։

Եռանկյան բոլոր բարձրությունները հատվում են նույն կետում:

6. Եռանկյան միջին գիծ

Եռանկյան միջին գիծ է կոչվում նրա երկու կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածը:

Եռանկյան միջին գիծը զուգահեռ է նրա կողմերից մեկին և հավասար է այդ կողմի կեսին:

Եռանկյան միջին գիծը եռանկյունը բաժանում է մասերի, որոնց մակերեսների հարաբերությունը 3 է:

7. Եռանկյան միջնագիծ

Եռանկյան միջնագիծ է կոչվում այն հատվածը, որը գագաթը միացնում է հանդիպակաց կողմի միջնակետին։

Եռանկյան միջնագծերը հատվում են մի կետում, որը հաշված գագաթից՝ յուրաքանչյուր միջնագիծը բաժանում է 2:1 հարաբերությամբ։

Եթե եռանկյան կողմերն են a, b, c, իսկ դրանց համապատասխան միջնագծերը՝ m_a, m_b, m_c, ապա m_a=√2b²+2c²−a²/2 , m_b=√2a²+2c²−b²/2 , m_c=√2a²+2b²−c²/2

8. Սինուսների թեորեմ

Սինուսների թեորեմը պնդում է, որ եռանկյան կողմերը համեմատական են հանդիպակաց անկյունների սինուսներին։

Թեորեմի ձևակերպում՝ Եռանկյան կողմի հարաբերությունը իր դիմացի անկյան սինուսին տվյալ եռանկյան համար հաստատուն մեծություն է և հավասար է նրան արտագծած շրջանագծի տրամագծին:

Ըստ եռանկյան մակերեսի մասին թեորեմի՝

S_ABC=ab⋅sin C/2=ac⋅sin B/2=bc⋅sin A/2

Որտեղից ստանում ենք՝ ab⋅sin C=ac⋅sin B=bc⋅sin A

Առաջին հավասարություններից ստանում ենք՝

b/sin B=c/sin C

իսկ երկրորդից՝

a/sin A=b/sin B

9. Կոսինուսների թեորեմ

Կոսինուսների թեորեմը կապվում է եռանկյան կողմերի երկարությունների և երկու կողմերի միջև ընկած անկյան կոսինուսի միջև։

Թեորեմի ձևակերպումը՝ Եռանկյան ցանկացած կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին՝ հանած այդ կողմերի և նրանցով կազմված անկյան կոսինուսի կրկնապատիկ արտադրյալը։

Եռանկյան կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարից հանած այդ կողմերի և նրանց կազմած անկյան կոսինուսի կրկնակի արտադրյալին: