Ցուցչային անհավասարումներ. առաջադրանքներ

Առաջադրանք 41

ա) 2^x < 16
2^x < 2⁴
x < 4
x ∈ (-∞; 4)

բ) 5^x ≥ 0,2
5^x ≥ 5^-1
x ≥ -1
x ∈ [-1; +∞)

գ) (0,2)^x < 125
5^-x < 5³
-x < 3
x > -3
x ∈ (-3; +∞)

դ) (1/4)^x ≥ 64
4^-x ≥ 4³
-x ≥ 3
x ≤ -3
x ∈ (-∞; -3]

ե) (2/3)^x < 9/4
(2/3)^x < (2/3)^-2
x > -2
x ∈ (-2; +∞)

զ) (1/3)^x ≤ 27
(1/3)^x ≤ 3³
3^-x ≤ 3³
-x ≤ 3
x ≥ -3
x ∈ [-3; +∞)

է) (0,25)^x > 16
2^-2x > 2⁴
-2x > 4
-x > 2
x < -2
x ∈ (-∞; -2)

ը) (√2)^x ≥ 0,125
2^1/2x ≥ 2^-3
1/2x ≥ -3
x ≥ -6
x ∈ [-6; +∞)

թ) (³√5)^x < 0,04
5^1/3x < 5^-2
1/3x < -2
x < -6
x ∈ (-∞; -6)

Առաջադրանք 42

ա) (√7)^x+1 < 49
7^1/2*(x+1) < 7²
7^1/2x+1/2 < 7² (ցուցիչները կրկնապատկենք)
x+1 < 4
x < 4-1
x < 3
x ∈ (-∞; 3)

բ) (0,2)^x-1 < 25
5^-x+1 < 5²
-x+1 < 2
-x < 1
x > -1
x ∈ (-1; +∞)

գ) (√3/9)^x+2 ≤ 27
3^-3/2*(x+2) ≤ 3³
3^-3/2x-3 ≤ 3³
-3/2x-3 ≤ 3
-3x-6 ≤ 6
-3x ≤ 12
-x ≤ 4
x ≥ -4
x ∈ [-4; +∞)

դ) (49/√7)^3-5x > 1/343
7^3/2*(3-5x) > 7^-3
7^9/2-15x/2 > 7^-3
9/2 — 15x/2 > -3 (կրկնապատկենք)
9-15x > -6
-15x > -15
15x < 15
x < 1
x ∈ (-∞; 1)

ե) 2^|2x+3| < 0,25
2^|2x+3| < 2^-2
|2x+3| < -2
Ø

զ) (0,2)^|2x-5| > 125
5^-|2x-5| > 5³
-|2x-5| > 3
|2x-5| < -3
Ø

Առաջադրանք 44

ա) 2^{3x^2+x-6} > 0,25
2^{3x^2+x-6} > 2^-2
3x²+x-6 > -2
3x²+x-6+2=0
3x²+x-4=0
D=b²-4ac=1-(-48)=49
{ x₁= (-1+7)/6=6/6=1 => x ∈ (1; +∞)
{ x₂= (-1-7)/6=(-8)/6= -4/3 => x ∈ (-∞; -4/3)
x ∈ (-∞; -4/3) U (1; +∞)

բ) (³√32/8)^{2x^2+3x-2} ≤ 1/16
2^{-4/3*(2x^2+3x-2)} ≤ 2^-4
2^{-8/3x^2-4x+8/3} ≤ 2^-4
-8/3x²-4x+8/3 ≤ -4
-8/3x²-4x+8/3+4 ≤ 0
-8x²-12x+8+12 ≤ 0
-8x²-12x+20 ≤ 0
2x²+3x-5 ≤ 0
D=9-(-40)=49
{ x₁=(-3+7)/(-2)= 4/(-2)= -2
{ x₂=(-10)/(-2)=5
x ∈ (-∞; -2) U (5; +∞)

գ) (1,5)^|5x-3|-6 ≤ 8/27
3/2^|5x-3|-6 ≤ (3/2)^-3
|5x-3|-6 ≤ -3
|5x-3| ≤ 3
5x-3 ≤ 3
5x-3 ≥ 0
-(5x-3) ≤ 3
5x-3 < 0 => x ≤ 6/5; x ≥ 3/5; x ≥ 0; x < 3/5
x ∈ (0; 6/5)

դ) 0,6^3-|x+7| > 25/9
3/5^3-|x+7| > (3/5)^-2
3-|x+7| > -2
-|x+7| < -5
-(x+7) < -5; -(-(x+7)) < -5; x+7 ≥ 0; x+7 < 0
x > -2; x ≥ -7; x < -12; x < -7
x ∈ (-∞; -12) U (-2; ∞)

ե) (5/6)^√x+1 > 1,44
(5/6)^√x+1 > (5/6)^-2
√x+1 < -2
Ø

զ) 81*(1,8)^{√x^2-9-6} > 25
(1,8)^{√x^2-9-6} > 25/81
(9/5)^{√x^2-9-6} > (9/2)^-2
√x²-9-6 > -2
√x²-9 > 4 (բարձրացնենք քառակուսի)
x²-9 > 16
x² > 25
x > ±5
x ∈ (-∞; -5) U (5; ∞)