2. Դրական տարբերիչով երկրորդ աստիճանի անհավասարումներ

Վարժ․ 114

ա) (x-9)(x-2)>0

գտնել այս անհավասարության 0-ները․

(x-9)(x-2)=0=> [x-9=0; x-2=0=> [x=9; x=2

x ∈ (-∞; 2) ∪ (9; +∞)

Պատ՝․ (-∞; 2) ∪ (9; +∞)

բ) (x-8)(x-19)<0

գտնել այս անհավասարության 0-ները․

(x-8)(x-19)=0=> [x-8=0; x-19=0=> [x=8; x=19

x ∈ (8; 19)

Պատ՝․ (8; 19)

գ) (x+3)(x-5)<0

գտնել այս անհավասարության 0-ները․

(x+3)(x-5)=0> [x+3=0; x-5=0=> [x= -3; x=5

x ∈ (-3; 5)

Պատ՝․ (-3; 5)

դ) (x-4)(x+7)>0

գտնել այս անհավասարության 0-ները․

(x-4)(x+7)=0=> [x-4=0; x+7=0=> [x=4; x= -7

x ∈ (-∞; -7) ∪ (4; +∞)

Պատ՝ (-∞; -7) ∪ (4; +∞)

Վարժ․ 115

ա) (2x-1)(3x+5)<0

գտնել այս անհավասարության 0-ները․

(2x-1)(3x+5)=0=> [2x-1=0; 3x+5=0=> [x=0,5; x= -1,6

x ∈ (-∞; -1,6) ∪ (-1,6; 0,5)

Պատ՝․ (-∞; -1,6) ∪ (-1,6; 0,5)

բ) (1,2x-0,75)(7x-1)<0

գտնել այս անհավասարության 0-ները․

(1,2x-0,75)(7x-1)=0=> [1,2x-0,75=0; 7x-1=0=> [x=5/8; x=1/7

x ∈ (1/7; 5/8)

Պատ՝․ (1/7; 5/8)

գ) (4x+3)(5x+2)>0

գտնել այս անհավասարության 0-ները․

(4x+3)(5x+2)=0=> [4x+3=0; 5x+2=0=> [x= -0,75; x= -0,4

x ∈ (-∞; -0,75) ∪ (-0,4; +∞)

Պատ՝․ (-∞; -0,75) ∪ (-0,4; +∞)

դ) (1.1/3x+1/12)*(0,7x+4)>0

գտնել այս անհավասարության 0-ները․

(1.1/3x+1/12)(0,7x+4)=0=> (4/3x+1/12)*(0,7x+4)=0=> [4/3x+1/12=0; 0,7x+4=0=> [x= -1/16; -5,7)

x ∈ (-0,06; +∞)

Պատ՝․ (-0,06; +∞)

Վարժ․ 116

ա) x²-x>0

գտնել այս անհավասարության 0-ները․

x*(x-1)=0=> [x=0; x=1

x ∈ (1; +∞)

Պատ՝․ (1; +∞)

բ) x²+x<0

գտնել այս անհավասարության 0-ները․

x*(x+1)=0=> [x=0; x+1=0=> [x=0; x= -1

x ∈ (-1; 0)

Պատ՝․ (-1; 0)

գ) 5x²-x<0

գտնել այս անհավասարության 0-ները․

x*(5x-1)=0=> [x=0; 5x-1=0=> [x=0; x=0,2

x ∈ (0; 0,2)

Պատ՝․ (0; 0,2)

դ) 3x²+x>0

գտնել այս անհավասարության 0-ները․

x*(3x+1)=0=> [x=0; 3x+1=0=> [x=0; x= -1/3

x ∈ (-∞; -1/3) ∪ (0; +∞)

Պատ՝․ (-∞; -1/3) ∪ (0; +∞)

ե) 4x²+7x>0

գտնել այս անհավասարության 0-ները․

x*(4x+7)=0=> [x=0; 4x+7=0=> [x=0; x= -7/4

x ∈ (-∞; -7/4) ∪ (0; +∞)

Պատ՝․ (-∞; -7/4) ∪ (0; +∞)

զ) 3x-2x²<0

գտնել այս անհավասարության 0-ները․

x*(3-2x)=0=> [x=0; 2x-3=0=> [x=0; x=3/2

x ∈ (-∞; 0) ∪ (3/2; +∞)

Պատ՝․ (-∞; 0) ∪ (3/2; +∞)

Վարժ․ 117

ա) x²-4>0

գտնել այս անհավասարության 0-ները․

(x-2)*(x+2)=0=> [x=2; x= -2

x ∈ (-∞; -2) ∪ (2; +∞)

Պատ՝․ (-∞; -2) ∪ (2; +∞)

բ) x²-9<0

գտնել այս անհավասարության 0-ները․

(x-3)*(x+3)=0=> [x=3; x= -3

x ∈ (-3; +3)

Պատ՝․ (-3; +3)

գ) x²-100<0

գտնել այս անհավասարության 0-ները․

(x-10)*(x+10)=0=> [x=10; x= -10

x ∈ (-10; +10)

Պատ՝․ (-10; +10)

դ) 1-x²>0

գտնել այս անհավասարության 0-ները․

(1-x)*(1+x)=0=> [x=1; x= -1

x ∈ (-1; +1)

Պատ՝․ (-1; +1)

Վարժ․ 118

ա) x²-3>0

գտնել այս անհավասարության 0-ները․

(x-√3)*(x+√3)=0=> [x=√3; x= -√3

x ∈ (-∞; -√3) ∪ (√3; +∞)

Պատ՝․ (-∞; -√3) ∪ (√3; +∞)

բ) x²-5<0

գտնել այս անհավասարության 0-ները․

(x-√5)*(x+√5)=0=> [x=√5; x= -√5

x ∈ (-√5; √5)

Պատ՝․ (-√5; √5)

գ) 2-x²<0

գտնել այս անհավասարության 0-ները․

(√2-x)*(√2+x)=0=> [x=√2; x= -√2

x ∈ (-∞; -√2) ∪ (√2; +∞)

Պատ՝․ (-∞; -√2) ∪ (√2; +∞)

դ) 13-x²>0

գտնել այս անհավասարության 0-ները․

(√13-x)*(√13+x)=0=> [x=√13; x= -√13

x ∈ (-√13; +√13)

Պատ՝․ (-√13; +√13)

Վարժ․ 119

ա) 0,5x²-x<0

գտնել այս անհավասարության 0-ները․

x*(0,5-1)=0=> [x=0; 0,5x-1=0=> [x=0; x=2

x ∈ (0; 2)

Պատ՝․ (0; 2)

բ) 1,3x²-2x<0

գտնել այս անհավասարության 0-ները․

x*(1,3x-2)=0=> x*(13x-20)=> [x=0; x=20/13

x ∈ (0; 20/13)

Պատ՝․ (0; 20/13)

գ) 3.1/2x-x²>0

գտնել այս անհավասարության 0-ները․

x*(7/2-x)=0=> [x=0; x=7/2

x ∈ (0; 7/2)

Պատ՝․ (0; 7/2)

դ) 7/8x²-1.3/5>0

գտնել այս անհավասարության 0-ները․

7/8x²-8/5>0=> x²=64/35=> [x=8√35/35; x= -8√35/35

x ∈ (-∞; -8√35/35) ∪ (8√35/35; +∞)

Պատ՝․ (-∞; -8√35/35) ∪ (8√35/35; +∞)

Վարժ․ 120

ա) 2x²-3<0

գտնել այս անհավասարության 0-ները․

x²=3/2=> x=√3/2=> x=√3/√2=> [x=√6/2; x= -√6/2

x ∈ (-√6/2; √6/2)

Պատ՝․ (-√6/2; √6/2)

բ) 7x²-1>0

գտնել այս անհավասարության 0-ները․

x²=1/7=> x=1/√7=> x=√7/7=> [x=√7/7; x= -√7/7

x ∈ (-∞; -√7/7) ∪ (√7/7; +∞)

Պատ՝․ (-∞; -√7/7) ∪ (√7/7; +∞)

գ) 5-0,2x²>0

գտնել այս անհավասարության 0-ները․

x²=25=> [x=5; x= -5

x ∈ (-5; 5)

Պատ՝․ (-5; 5)

դ) 1,2-3x²<0

գտնել այս անհավասարության 0-ները․

6/5-3x²=0=> x²=2/5=> x=√2/5=> x=√2/√5=> x=√10/5=> [x=√10/5; x= -√10/5

x ∈ (-∞; -√10/5) ∪ (√10/5; +∞)

Պատ՝․ (-∞; -√10/5) ∪ (√10/5; +∞)

Վարժ․ 121

ա) x²-3x+2>0

x²-3x+2=0 (a=1; b= -3; c=2)

D=b²-4ac=9-8=1

x₁= -b-√D/2a= 3-1/2=2/2=1

x₂= -b+√D/2a= 3+1/2=4/2=2

x ∈ (-∞; 1) ∪ (2; +∞)

Պատ՝․ (-∞; 1) ∪ (2; +∞)

բ) x²+4x+3<0

x²+4x+3=0 (a=1; b=4; c=3)

D=b²-4ac=16-12=4

x₁= -b-√D/2a= -4-2/2= -6/2= -3

x₂= -b+√D/2a= -4+2/2= -2/2= -1

x ∈ (-3; -1)

Պատ՝․ (-3; -1)

գ) x²+5x+6<0

x²+5x+6=0 (a=1; b=5; c=6)

D=b²-4ac=25-24=1

x₁= -b-√D/2a= -5-1/2= -6/2= -3

x₂= -b+√D/2a= -5+1/2= -4/2= -2

x ∈ (-3; -2)

Պատ՝․ (-3; -2)

դ) x²-5x+4>0

x²-5x+4=0 (a=1; b= -5; c=4)

D=b²-4ac=25-16=9

x₁= -b-√D/2a= 5-3/2=1

x₂= -b+√D/2a= 5+3/2=4

x ∈ (-∞; 1) ∪ (4; +∞)

Պատ՝․ (-∞; 1) ∪ (4; +∞)

ե) 3x²-2x-5<0

3x²-2x-5=0 (a=3; b= -2; c= -5)

D=b²-4ac=4-(-60)=64

x₁= -b-√D/2a=2-8/6= -6/6= -1

x₂= -b+√D/2a=2+8/6=10/6=5/3

x ∈ (-1; 5/3)

Պատ՝․ (-1; 5/3)

զ) 4x²-x-3<0

4x²-x-3=0 (a=4; b= -1; c= -3)

D=b²-4ac=1-(-48)=49

x₁= -b-√D/2a=1-7/8= -6/8= -3/4

x₂= -b+√D/2a=1+7/8=8/8=1

x ∈ (-3/4; 1)

Պատ՝․ (-3/4; 1)

է) 7x²+2x-5>0

7x²+2x-5=0 (a=7; b=2; c= -5)

D=b²-4ac=4-(-140)=144

x₁= -b-√D/2a= -2-12/14= -14/14= -1

x₂= -b+√D/2a=-2+12/14= 10/14= 5/7

x ∈ (-∞; -1) ∪ (5/7; +∞)

Պատ՝․ (-∞; -1) ∪ (5/7; +∞)

ը) 10x²+3x-1>0

10x²+3x-1=0 (a=10; b=3; c= -1)

D=b²-4ac=9-(-40)=49

x₁= -b-√D/2a= -3-7/20= -10/20= -1/2

x₂= -b+√D/2a= -3+7/20= 4/20=1/5

x ∈ (-∞; -1/2) ∪ (1/5; +∞)

Պատ՝․ (-∞; -1/2) ∪ (1/5; +∞)

Վարժ․ 122

ա) 0,25x²-4x+12>0

0,25x²-4x+12=0 (a=0,25; b= -4; c=12)

D=b²-4ac=16-12=4

x₁= -b-√D/2a=4-2/0,5=2/0,5=4

x₂= -b+√D/2a=4+2/0,5=6/0,5=12

x ∈ (-∞; 4) ∪ (12; +∞)

Պատ՝․ (-∞; 4) ∪ (12; +∞)

բ) 0,5x²+88x+24<0

0,5x²+88x+24=0 (a=0,5; b=88; c=24)

D=b²-4ac=7744-48=7696

x₁= -b-√D/2a= -88-√7696/1

x₂= -b+√D/2a= -88+√7696/1

x ∈ (-88-√7696; -88+√7696)

Պատ՝․ (-88-√7696; -88+√7696)

գ) 3-x+1/16x²<0

3-x+1/16x²=0 (a=1; b= -16; c=48)

D=b²-4ac=256-192=64

x₁= -b-√D/2a=16-8/2=8/2=4

x₂= -b+√D/2a=16+8/2=24/2=12

x ∈ (4; 12)

Պատ՝․ (4; 12)

դ) 4x+1/4x²+12>0

4x+1/4x²+12=0 (a=1/4; b=4; c=12)

D=b²-4ac=16-4*1/4*12=16-12=4

x₁= -b-√D/2a= -4-2/0,5= -6*2/1= -12

x₂= -b+√D/2a= -4+2/0,5= -2*2/1= -4

x ∈ (-∞; -12) ∪ (-4; +∞)

Պատ՝․ (-∞; -12) ∪ (-4; +∞)

ե) 5x²-x-7<0

5x²-x-7=0 (a=5; b= -1; c= -7)

D=b²-4ac=1-(-140)=141

x₁= -b-√D/2a=1-√141/10

x₂= -b+√D/2a=1+√141/10

x ∈ (1-√141/10; 1+√141/10)

Պատ՝․ (1-√141/10; 1+√141/10)

զ) 8x²-3-2x>0

8x²-3-2x=0 (a=8; b= -2; c= -3)

D=b²-4ac=4-(-96)=100

x₁= -b-√D/2a=2-10/16= -8/16= -1/2

x₂= -b+√D/2a=2+10/16=12/16=3/4

x ∈ (-∞; -1/2) ∪ (3/4; +∞)

Պատ՝․ (-∞; -1/2) ∪ (3/4; +∞)

է) 2x²+5-17x>0

2x²+5-17x=0 (a=2; b= -17; c=5)

D=b²-4ac=289-40=249

x₁= -b-√D/2a=17-√249/4

x₂= -b+√D/2a=17+√249/4

x ∈ (-∞; 17-√249/4) ∪ (17+√249/4; +∞)

Պատ՝․ (-∞; 17-√249/4) ∪ (17+√249/4; +∞)

ը) 15x+3+4x²<0

15x+3+4x²=0 (a=4; b=15; c=3)

D=b²-4ac=225-48=177

x₁= -b-√D/2a= -15-√177/8

x₂= -b+√D/2a= -15+√177/8

x ∈ (-15-√177/8; -15+√177/8)

Պատ՝․ (-15-√177/8; -15+√177/8)

Վարժ․ 123

ա) y=x²-6x+8

x²-6x+8<0=> x²-6x+8=0 (a=1; b= -6; c=8)

D=b²-4ac=36-32=4

x₁= -b-√D/2a=6-2/2=4/2=2

x₂= -b+√D/2a=6+2/2=8/2=4

y<0=> x ∈ (2; 4)

y>0=> x ∈ (-∞;2) ∪ (4; +∞)

բ) y=x²-2x-8

x²-2x-8<0=> x²-2x-8=0 (a=1; b= -2; c= -8)

D=b²-4ac=4-(-32)=36

x₁= -b-√D/2a=2-6/2= -4/2= -2

x₂= -b+√D/2a=2+6/2=8/2=4

y<0=> x ∈ (-2; 4)

y>0=> x ∈ (-∞; -2) ∪ (4; +∞)

գ) y=-x²+2x+3

-x²+2x+3<0=> -x²+2x+3=0 (a= -1; b=2; c=3)

D=b²-4ac=4-(-12)=16

x₁= -b-√D/2a= -2-4/ (-2)= -6/(-2)=3

x₂= -b+√D/2a= -2+4/(-2)=2/(-2)= -1

y<0=> x ∈ (-∞; -1) ∪ (3; +∞)

y>0=> x ∈ (-1; 3)

դ) y= -x²+x+12

-x²+x+12<0=> -x²+x+12=0 (a= -1; b=1; c=12)

D=b²-4ac=1-(-48)=49

x₁= -b-√D/2a= -1-7/(-2)= -8/(-2)=4

x₂= -b+√D/2a= -1+7/(-2)=6/(-2)= -3

y<0=> x ∈ (-∞; -3) ∪ (4; +∞)

y>0=> x ∈ (-3; 4)